Question

3．如图所示，传送带与地面成夹角θ=37°，以10m/s的速度逆时针转动，在传送带上端轻轻地放一个质量m=0.5kg的物体，它与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，已知传达带从A→B的长度L=16m，则
（1）物体从A到B需要的时间为多少？
（2）到达B点的速度是多少？
（3）该过程因摩擦生热多少？
（4）若传送带静止，物体由A到B的时间是多少？
（5）若传送带以10m/s的速度顺时针转动，物体由A到B的时间是多少？

Answer 1

分析 （1）物体在传送带上受到重力、支持力和滑动摩擦力作用，先做初速度为0的匀加速直线运动，当速度和传送带速度一样时进行判断物体跟随传送带匀速还是单独做匀变速直线运动，根据总位移为16m，可以求出整个运动过程的时间t．
（2）结合上题的结果，由速度时间公式求到达B点的速度．
（3）由位移公式求出物体和传送带对地的位移，从而得到相对位移，再求摩擦生热．
（4）由牛顿第二定律求加速度，再由位移时间公式求时间．
（5）若传送带以10m/s的速度顺时针转动时，物体的运动情况与传送带静止时相同，运动时间也相同．

解答 解：（1）物体放上传送带后，开始一段时间t₁内做初速度为0的匀加速直线运动，物体受到沿斜面向下的滑动摩擦力，物体所受合力为：F_合=mgsinθ+f
又因为 f=μN=μmgcosθ
所以根据牛顿第二定律可得：
    a=$\frac{{F}_{合}}{m}$=g（sin37°+μcos37°）=10×（0.6+0.5×0.8）=10m/s²
当物体速度增加到10m/s时产生的位移为：
   x=$\frac{{v}^{2}}{2a}$=$\frac{1{0}^{2}}{2×10}$=5m＜16m
所用时间为：t₁=$\frac{v}{a}$=$\frac{10}{10}$s=1s，
物体速度增加到10m/s后，由于mgsinθ＞μmgcosθ，所以物体将受沿传送带向上的滑动摩擦力，做匀加速直线运动
加速度为 a′=$\frac{mgsin37°-μmgcos37°}{m}$=gsin37°-μgcos37°=10×（0.6-0.5×0.8）=2m/s²
设从共速到匀加速运动到B的时间为t₂，
则 L-x=vt₂+$\frac{1}{2}$a′t₂²
代入数据得 16-5=10t₂+t₂²
解得：t′=1s或-11s（舍去）
故总时间为 t_总=t₁+t₂=1s+1s=2s
（2）到达B点的速度 v_B=v+a′t₂=10+2×1=12m/s
（3）第一个匀加速运动的过程中传送带的位移 x₁=vt₁=10×1=10m，物体与传送带的相对位移△x₁=x₁-x=10-5=5m
第二个匀加速运动的过程中传送带的位移 x₂=vt₂=10×1=10m，物体与传送带的相对位移△x₂=（L-x）-x₂=16-5-10=1m
故该过程因摩擦生热 Q=μmgcosθ（△x₁+△x₂）
代入数据解得 Q=12J
（4）若传送带静止，物体一直做匀加速直线运动，设运动时间为t．
加速度为 a″=$\frac{mgsin37°-μmgcos37°}{m}$=gsin37°-μgcos37°=10×（0.6-0.5×0.8）=2m/s²
由L=$\frac{1}{2}a″{t}^{2}$得
   t=$\sqrt{\frac{2L}{a″}}$=$\sqrt{\frac{2×16}{2}}$=4s
（5）若传送带以10m/s的速度顺时针转动时，物体的受力情况和传送带静止时相同，则物体的运动情况与传送带静止时相同，运动时间也相同，仍是4s．
答：
（1）物体从A到B需要的时间为2s．
（2）到达B点的速度是12m/s．
（3）该过程因摩擦生热是12J．
（4）若传送带静止，物体由A到B的时间是4s．
（5）若传送带以10m/s的速度顺时针转动，物体由A到B的时间是4s．

点评 解决本题的关键理清物体在传送带上的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合研究，要注意摩擦生热与相对位移有关．