Question

11．已知某星球半径是地球半径$\frac{1}{4}$，质量与地球质量相同．且地球半径R=6.4×10⁶m，地球质量M=6.0×10²⁴kg，地面附近的重力加速度g=10m/s²，求：
（1）该星球第一宇宙速度v₁
（2）若该星球自转周期T=2.0×10⁴s，则发射一颗该星球的同步卫星，其距离地面的高度是多少？（π²≈10）

Answer 1

分析 （1）在星球表面都有万有引力等于重力，分别对地球表面和星球表面，根据万有引力等于重力列式求解星球表面重力加速度，在根据$mg′=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R′}$解得该星球第一宇宙速度；
（2）在星球表面都有万有引力等于重力，同步卫星的周期与该星球自转周期相同，根据同步卫星的万有引力周期公式求解高度．

解答 解：（1）在星球表面都有万有引力等于重力，则
地球表面：$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$
星球表面：$mg′=G\frac{Mm′}{{R′}^{2}}$
得g′=16g
根据$mg′=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R′}$解得该星球第一宇宙速度：v₁=1.6×10⁴m/s
（2）在星球表面有：$mg′=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$
对同步卫星有：$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$
解联立方程得：$h=\root{3}{\frac{g′（\frac{R}{4}）^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-\frac{R}{4}=1.44×1{0}^{7}m$
答：（1）该星球第一宇宙速度为1.6×10⁴m/s；
（2）若该星球自转周期T=2.0×10⁴s，则发射一颗该星球的同步卫星，其距离地面的高度是1.44×10⁷m．

点评 本题抓住同步卫星的向心力由万有引力提供，周期与星球自转周期相同，掌握相关公式并能灵活变形是解决问题的关键，知道在星球表面都有万有引力等于重力，难度不大，属于基础题．