Question

6．如图甲所示，两足够长的平行导轨间距为L=0.4m，导轨上端连接一阻值为R=0.2Ω的电阻，导轨平面与水平面的夹角为θ=37°，导轨所在空间以直线MN为边界分为上、下两个区域，下区域中存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度为B₀=0.5T．质量为m=0.2kg、电阻为r=0.2Ω的导体棒跨在两导轨上并与导轨接触良好． t=0时刻开始，导体棒从磁场边界MN处在平行导轨向下的力F作用下由静止开始运动，力F随时间t变化的图象如图乙所示，t=2s以后磁感应强度大小开始变化（磁感应强度始终不为零），但导体棒始终做匀加速运动．若全过程中电阻R产生的热量为8.5J，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：

（1）导体棒与导轨之间的动摩擦因数：
（2）0～2s内拉力F做的功；
（3）t=2s以后，磁感应强度随时间t变化的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）当拉力分别为1.2N、2.8N时，根据牛顿第二定律列方程求解动摩擦因数；
（2）求出整个过程中克服安培力做的功，根据运动学公式求解2s末的速度和2s内的位移，根据动能定理求解拉力做的功；
（3）根据共点力的平衡条件列方程求解磁感应强度随时间t变化的函数关系式．

解答 解：（1）设加速度为a，动摩擦因数为μ，根据牛顿第二定律可得：
F₁-μmgcosθ=ma，
当拉力为2.8N时，根据牛顿第二定律可得：F₂-μmgcosθ-B₀IL=ma，
其中I=$\frac{E}{R+r}=\frac{{B}_{0}Lv}{R+r}=\frac{{B}_{0}Lat}{R+r}$，其中t=2.0s，
联立解得：a=8m/s²，μ=0.25；
（2）0～2s内电阻R产生的热量为8.5J，则导体棒上产生的热量为8.5J，
整个过程中克服安培力做的功W=2Q=2×8.5J=17J；
2s末的速度v=at=16m/s，位移x=$\frac{v}{2}t=\frac{16}{2}×2m=16m$，
根据动能定理可得：W_F-W-μmgxcosθ=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0，
解得W_F=49J；
（3）t=2s以后，磁感应强度的大小为B，根据共点力的平衡条件可得：
F₁-μmgcosθ-BIL=0，即：F₁-μmgcosθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R+r}$=0，
解得：B=$\frac{1}{2\sqrt{t}}$ （T）．
答：（1）导体棒与导轨之间的动摩擦因数为0.25：
（2）0～2s内拉力F做的功49J；
（3）t=2s以后，磁感应强度随时间t变化的函数关系式为B=$\frac{1}{2\sqrt{t}}$ （T）．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下物体的平衡问题；另一条是能量，分析电磁感应现象中的能量如何转化是关键．