Question

（2007?淮安模拟）侦察卫星在通过地球两极上空的圆形轨道上运动，它的运动轨道距离地面的高度为h，要使卫星在一天时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星的摄像机至少能拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球的半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转周期为T．

Answer 1

分析：摄像机只要将地球的赤道拍摄全，便能将地面各处全部拍摄下来；
根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出卫星周期．
由地球自转角速度求出卫星绕行地球一周的时间内，地球转过的圆心角，再根据弧长与圆心角的关系求解．

解答：解：设卫星周期为T₁，根据万有引力提供向心力得：

GMm

(R+h)2

=

m?4π2

T 2 1

（R+h）               ①
又

GMm

R2

=mg         ②
有T₁=

2π

R

(h+R)3 g

              ③
地球自转角速度为ω=

2π

T

                     ④
在卫星绕行地球一周的时间T₁内，地球转过的圆心角为
θ=ωT₁=

2π

T

T₁              ⑤
那么摄像机转到赤道正上方时摄下圆周的弧长为s=θR             ⑥
由①②③④⑤⑥得s=

4π2

T

(h+R)3 g

答：卫星的摄像机至少能拍摄地面上赤道圆周的弧长是

4π2

T

(h+R)3 g

．

点评：本题考查应用物理知识分析研究科技成果的能力，基本原理：建立模型，运用万有引力等于向心力研究．