题目内容

【题目】如图所示,竖直面内固定一倾角为45°的足够长光滑斜面,其上滑轮的顶端与一个固定的半径R=0.5m的光滑圆弧最高点M及圆心O在同一水平线上。可视为质点的AB两球质量分别为mA=1kgmB=2kg,用足够长的跨过滑轮及M点的细绳相连,A球的另一侧与一固定在斜面底端挡板处的弹簧相连,劲度系数k=20N/m。起初用手托住B球在M点,细绳恰好伸直但无拉力。不计一切摩擦及滑轮质量,斜面上的细绳、弹簧与斜面平行,无初速度释放B球且此后细绳始终绷紧,g=10m/s2

1)求初始状态弹簧的形变量。

2)求B球到达圆弧轨道最低点时,弹簧的形变量及AB两球的速度比值。

3)求B球到达圆弧轨道最低点时,A球的速度大小。

【答案】(1)(2)(3)

【解析】

1)初始状态A球处于平衡状态,所受合外力为零,对A球列式求解弹簧的形变量。(2)末态A球的实际速度沿斜面向上,B球的速度沿圆弧切线水平向右,二者实际速度沿绳方向的投影相等,根据平行四边形定则求出两个速度的关系。(3)由A球、B球、弹簧组成的系统机械能守恒,求解A的速度。

1)初始状态A球处于平衡状态,所受合外力为零

A球有:

得:压缩量

2)当B球到达圆弧轨道最低点时,A球沿斜面上升的距离为

此时弹簧伸长量

末态A球的实际速度沿斜面向上,B球的速度沿圆弧切线水平向右,二者实际速度沿绳方向的投影相等,即vA=vBcos450

解得

3)因,故弹簧始末状态的弹性势能相等,

A球、B球、弹簧组成的系统机械能守恒有:

得:vA=m/s

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