Question

14．如图所示，一轻绳一端连一小球B，另一端固定在O点，开始时球与O点在同一水平线上，轻绳拉直，在O点正下方距O点L处有一铁钉C，释放小球后，小球绕铁钉C恰好能做完整的竖直面内的圆周运动．求：
（1）绳的长度．
（2）小球第一次运动到最低点时的速度．
（3）若让小球自然悬挂，小球恰好与水平面接触于F点，小球质量为m，在水平面上固定有倾角为θ的斜面，斜面高为h，小球与斜面AE及水平面EF间的动摩擦因数均为μ，EF段长为s，让一质量与小球质量相等的滑块从斜面顶端由静止滑下，滑块与小球碰撞后粘在一起，结果两者一起恰好能绕C在竖直面内做圆周运动，则滑块与小球碰撞过程中损失的机械能是多少（不计滑块在E处碰撞的能量损失）？

Answer 1

分析 （1）小气做圆周运动，应用牛顿第二定律与机械能守恒定律可以求出绳子的长度．
（2）小球运动过程中只有重力做功，由机械能守恒定律可以求出小球到达最低点时的速度．
（3）应用动能定理与能量守恒定律可以求出损失的机械能．

解答 解：（1）设轻绳长为R，则小球绕C在竖直面内做圆周运动时，半径为R-L，恰好能做竖直面内的圆周运动，
在最高点重力提供向心力，由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R-L}$，
由机械能守恒得：mg[R-2（R-L）]=$\frac{1}{2}$mv²，解得：R=$\frac{5}{3}$L．
（2）由机械能守恒定律，小球到最低点时：mgR=$\frac{1}{2}$mv′²，解得：v′=$\sqrt{\frac{10}{3}gL}$．
（3）若滑块与小球粘在一起且恰好能在竖直面内绕C做圆周运动，
则碰撞后的共同速度也为v′=$\sqrt{\frac{10}{3}gL}$，
对滑块，由动能定理得：mgh-μmg（hcotθ+s）=$\frac{1}{2}$mv₁²-0，
由能量守恒定律得：E_机损=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$•2mv′²
解得：E_机损=mgh-$\frac{10}{3}$mgL-μmg（hcotθ+s）．
答：（1）绳的长度为$\frac{5}{3}$L．
（2）小球第一次运动到最低点时的速度为$\sqrt{\frac{10}{3}gL}$．
（3）滑块与小球碰撞过程中损失的机械能是：mgh-$\frac{10}{3}$mgL-μmg（hcotθ+s）．

点评 本题是一道力学综合题，分析清楚小球的运动过程，应用牛顿第二定律、机械能守恒定律与能量守恒定律即可正确解题．