Question

3．如图所示，长木板A的质量为15kg，小物体B（可以视为质点）质量为1kg，长木板A与水平面的摩擦系数μ₁=0.1，A和B之间的摩擦系数μ₂=0.4；开始计时，A的速度v_A水平向左，速度大小为4m/s；B的速度v_B水平向右，速度大小也为4m/s，设木板足够长．g=10m/s²，求：
（1）当B在A上滑动时，A和B的加速度分别为多少？
（2）B在长木板A上能滑动的最大距离为多少？
（3）从开始计时起，长木板A能够在地面上前进的距离为多少？

Answer 1

分析 （1）分析A和B的受力求得合外力，进而根据牛顿第二定律得到加速度；
（2）求得A与B速度相同的时间，然后由匀变速直线运动位移公式求得两物体的位移，进而得到最大距离；
（3）由（2）求得A和B一起运动的初速度，然后对A和B进行受力分析得到合外力，进而求得加速度及运动位移，再联立（2）中A的位移即可求得总位移．

解答 解：（1）当B在A上滑动时，B受到A对B的水平向左的摩擦力f_B=μ₂m_Bg=4N，加速度${a}_{B}=\frac{{f}_{B}}{{m}_{B}}=4m/{s}^{2}$；
A受到B对A的水平向右的摩擦力f_B′=f_B=4N和地面对A的水平向右的摩擦力f_A=μ₁（m_A+m_B）g=16N，所以，A受到的合外力F=f_B′+f_A=20N，故加速度${a}_{A}=\frac{F}{{m}_{A}}=\frac{4}{3}m/{s}^{2}$；
（2）当A和B速度相同时，两木块不在相对滑动，B在长木板A上滑动距离达到最大值；
设经过时间t量物体速度相同，则有：$4-4t=-4+\frac{4}{3}t$，所以，$t=\frac{3}{2}s$；
那么在时间t内B向右移动的位移为：
${x}_{1}=4×\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×4×（\frac{3}{2}）^{2}（m）=\frac{3}{2}m$
A向左移动的位移为：
${x}_{2}=4×\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×（\frac{3}{2}）^{2}（m）=\frac{9}{2}m$；
所以，B在长木板A上能滑动的最大距离为：x₁+x₂=6m；
（3）A和B速度相同后，两木块不在相对滑动，此时速度为：$v=4-4×\frac{3}{2}（m/s）=-2m/s$
即此时两物体向左运动，速度大小为2m/s；
之后两物体一起受到的合外力为：F′=μ₁（m_A+m_B）g，方向水平向右，所以，加速度为：$a′=\frac{F′}{{m}_{A}+{m}_{B}}={μ}_{1}g=1m/{s}^{2}$，
所以，物体向左运动的位移为：$x′=\frac{{v}^{2}}{2a′}=2m$；
故从开始计时起，长木板A能够在地面上前进的距离为：${x}_{2}+x′=\frac{13}{2}m$；
答：（1）当B在A上滑动时，A和B的加速度分别为$\frac{4}{3}m/{s}^{2}，4m/{s}^{2}$；
（2）B在长木板A上能滑动的最大距离为6m；
（3）从开始计时起，长木板A能够在地面上前进的距离为$\frac{13}{2}m$．

点评 物体运动学问题，一般先对物体进行受力分析求得合外力，然后由牛顿第二定律求得加速度，再根据匀变速运动规律得到物体的位移、速度、运动时间等．