Question

2．如图甲所示，电子枪中炽热的金属丝可以发射初速度可视为零的电子，电子经小孔进入ab、cd两板间的加速电场，两板间的电压为U₀，电子经加速后由cd板上的小孔水平进入水平放置的金属板AB、CD间，AB、CD两金属板关于ab、cd两板上小孔的连线对称，AB、CD两板的长度和两板间的距离均为l，距金属板AB、CD右边缘l处有一足够长的荧光屏，已知电子的质量为m、电荷量为e、不计电子重力和电子将的相互作用，由于电子穿过板间的时间极短，可以认为每个电子在板间运动过程中，两板间的电压恒定．

（1）求电子到达cd板时的速度大小v；
（2）若AB、CD两板间电压u随时间t变化的关系如图乙所示，单位时间从cd板射出的电子个数为N，电子打在荧光屏上形成一条亮线．
①求一个周期内电子能打到屏上偏转电压的范围；
②在①问电压范围内试通过计算说明单位长度亮线上的电子个数是否相同，若相同，求一个周期内打到单位长度亮线上的电子个数n；若不相同，试通过计算说明电子在荧光屏上的分别规律．

Answer 1

分析 （1）电子在ab、cd两板间直线加速，根据动能定理列式求解末速度；
（2）①考虑临界情况，即电子离开偏转电场时的侧移量为$\frac{l}{2}$，采用正交分解法，结合分运动知识列式分析；
②电子出偏转电场后做匀速直线运动，速度的反向延长线过电子在偏转电场运动的水平分位移的中点，可以等效为从位移中点射出，据此进行分析．

解答 解：（1）电子在ab、cd两板间的加速电场加速，根据动能定理，有：
eU₀=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：
v=$\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{m}}$；
（2）①设电子在偏转电场中的运动时间为t₁，偏转电压为u，垂直电场方向，有：l=vt₁，
平行电场方向，有：y=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$，
此过程中电子的加速度大小为a=$\frac{eu}{ml}$，
解得：y=$\frac{ul}{4{U}_{0}}$；
当电子在偏转电场中的偏移量y=$\frac{l}{2}$时，由y=$\frac{ul}{4{U}_{0}}$，解得：u=2U₀；
当偏转电压在-2U₀～2U₀间时，射入的电子可打在荧光屏上；
②电子出偏转电场后做匀速直线运动，速度的反向延长线过电子在偏转电场运动的水平分位移的中点，如图所示：

由相似三角形可知：$\frac{y'}{y}=\frac{{\frac{l}{2}+l}}{{\frac{l}{2}}}$
解得：$y'=\frac{3l}{{4{U_0}}}u$
对于有电子打在荧光屏上的时间内，在任意时间△t时间内电压u的变化量△u相等，打在荧光屏上的电子形成的亮线长度为$△y=\frac{3l}{4{U}_{0}}u$；
所以，在任意时间△t内，亮线长度△y相等；
由题意可知，在任意△t时间内，射出的电子个数是相等的，也就是说，在任意△t时间内，射出的电子都分布在相等的亮线长度△y范围内，因此，在一个周期内单位长度亮线上的电子个数相同；
一个周期内电子能达到荧光屏上的时间t=$\frac{2}{3}T=\frac{4{t}_{0}}{3}$；
所以，一个周期内打在荧光屏上的电子数为：$Nt=\frac{4N{t}_{0}}{3}$；
电子打在荧光屏上的最大侧移量${y_m}=\frac{3l}{2}$；
亮线长度l=2y_m=3l；
所以，一个周期内，单位长度亮线上的电子数为：n=$\frac{Nt}{L}=\frac{4N{t}_{0}}{9l}$；
答：（1）电子到达cd板时的速度大小v为$\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{m}}$；
（2）①一个周期内电子能打到屏上偏转电压的范围为-2U₀～2U₀；
②在①问电压范围内单位长度亮线上的电子个数是相同的，一个周期内打到单位长度亮线上的电子个数n为$\frac{4N{t}_{0}}{9l}$．

点评 本题类似示波管的工作原理，考查电子的电加速和电偏转过程，关键是采用正交分解法进行分析，不难．