Question

【题目】如图甲所示，劲度系数为k的轻质弹簧上端固定，下端连接质量为m的小物块。以小物块的平衡位置为坐标原点O，以竖直向下为正方向建立坐标轴Ox。现将小物块向上托起，使弹簧恢复到原长时将小物块由静止释放，小物块在竖直方向做往复运动，且弹簧始终在弹性限度内。

(1)以小物块经过平衡位置向下运动过程为例，通过推导说明小物块的运动是否为简谐运动；

(2)求小物块由最高点运动到最低点过程中，重力势能的变化量ΔEP1、弹簧弹性势能的变化量ΔEP2；

(3)在图乙中画出由最高点运动到最低点过程中，小物块的加速度a随x变化的图象，并利用此图象求出小物块向下运动过程中的最大速度。

Answer 1

【答案】(1)是简谐运动；(2)；；(3) ；

【解析】

(1)设小物块位于平衡位置时弹簧的伸长量为，则有

可得

小物块运动到平衡位置下方处，受力如图所示

此时弹簧弹力大小为

小物块所受合力为

即小物块所受合力与其偏离平衡位置的位移大小成正比，方向相反，说明小物块的运动是简谐运动；

(2)根据简谐运动对称性的特点，小物块由最高点运动到最低点过程中，下降的高度为，重力势能的变化量为

根据机械能守恒定律得

其中

解得弹簧弹性势能的变化量为

(3)由最高点运动到最低点过程中，小物块的加速度随变化的图象如图所示

当时小物块的速度最大，设合外力做功为，根据图中图线（或）与横轴所围面积得

根据

可得小物块向下运动过程中的最大速度为