如图所示.直角坐标平面xOy内有一条直线AC过坐标原点O与x轴成45°夹角.在OA与x轴负半轴之间的区域内存在垂直xOy平面向外的匀强磁场B.在OC与x轴正半轴之间的区域内存在垂直xOy平面向外的匀强磁场B2．现有一质量为m.带电量为q的带电粒子以速度v从位于直线AC上的P点.坐标为(L.L).竖直向下射出.经测量发现.此带电粒子每经过相同的时间T.会再将回� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

如图所示，直角坐标平面xOy内有一条直线AC过坐标原点O与x轴成45°夹角，在OA与x轴负半轴之间的区域内存在垂直xOy平面向外的匀强磁场B，在OC与x轴正半轴之间的区域内存在垂直xOy平面向外的匀强磁场B₂．现有一质量为m，带电量为q（q＞0）的带电粒子以速度v从位于直线AC上的P点，坐标为（L，L），竖直向下射出，经测量发现，此带电粒子每经过相同的时间T，会再将回到P点，已知距感应强度B₂=$\frac{mv}{qL}$．（不计粒子重力）
（1）请在图中画出带电粒子的运动轨迹，并求出匀强磁场B₁与B₂的比值；（B₁、B₂磁场足够大）
（2）求出带电粒子相邻两次经过P点的时间间隔T；
（3）若保持磁感应强度B₂不变，改变B₁的大小，但不改变其方向，使B₁=$\frac{mv}{2qL}$．现从P点向下先后发射速度分别为$\frac{v}{4}$和$\frac{v}{3}$的与原来相同的带电粒子（不计两个带电粒子之间的相互作用力，并且此时算作第一次经过直线AC），如果它们第三次经过直线AC时轨迹与AC的交点分别记为E点和F点（图中未画出），试求EF两点间的距离．
（4）若要使（3）中所说的两个带电粒子同时第三次经过直线AC，问两带电粒子第一次从P点射出时的时间间隔△t要多长？

分析（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解轨道半径；真空中做匀速直线运动；画出轨迹；
（2）根据t=$\frac{θ}{2π}•T$和T=$\frac{2πm}{qB}$求解出圆周运动的时间，再求解出匀速直线运动的时间后相加即可；
（3）粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律求解出半径之间的关系，然后画出对应的轨迹，得到EF间距；
（4）两带电粒子在同一磁场中的周期相同，转过的圆心角也相同，故在同一磁场中的运动时间相同，所以时间间隔△t就是直线运动的时间差．

解答解：（1）带电粒子从P点匀速运动到Q点，然后作半径为：$qv{B_2}=m\frac{v^2}{R_2}⇒{R_2}=\frac{mv}{{q{B_2}}}=L$的匀速圆周运动，运动到H点时的速度方向与AC垂直，从H点匀速运动到D点，后作匀速圆周运动到P点．
根据平面几何知识可知：$\overline{PO}=\overline{OD}=\sqrt{2}L$，四边形AODOR₁R为棱形，OR₁R为圆心，即带电粒子在匀强磁场BR₁R中作匀速圆周运动时的半径RR₁R为$\sqrt{2}L$，根据$qv{B_1}=m\frac{v^2}{R_1}$，
得：${B_1}=\frac{{\sqrt{2}mv}}{2qL}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}{B_2}$；
（2）T=t₁+t₂+t₃+t₄
${t_1}=\frac{L}{v}$，
${t_2}=\frac{3}{8}{T_2}=\frac{3πL}{4v}$，
${t_3}=\frac{L}{v}$，
${t_4}=\frac{5}{8}{T_2}=\frac{{5\sqrt{2}πL}}{4v}$
解得：$T={t_1}+{t_2}+{t_3}+{t_4}=\frac{{（8+3π+5\sqrt{2}π）L}}{4v}$；
（3）两带电粒子在磁场BR₂R中运动时的半径为：${R'_2}=\frac{{m\frac{v}{4}}}{{q{B_2}}}=\frac{L}{4}$，
${R''_2}=\frac{{m\frac{v}{3}}}{{q{B_2}}}=\frac{L}{3}$
${B_1}=\frac{mv}{2qL}=\frac{B_2}{2}$，
故粒子在磁场BR₁R中的运动半径：
${R_1}=\frac{mv}{{q{B_1}}}=2{R_2}$，
则两带电粒子都刚好运动$\frac{1}{4}$圆周到达A点，所以EF两点间的距离EF=0（如图所示）；
（4）两带电粒子在同一磁场中的周期相同，转过的圆心角也相同，故在同一磁场中的运动时间相同，所以时间间隔△t就是直线运动的时间差：
$△t=\frac{{L+\frac{L}{2}}}{{\frac{v}{4}}}-\frac{{L+\frac{L}{3}}}{{\frac{v}{3}}}=\frac{2L}{v}$；
答：（1）带电粒子的运动轨迹如图所示，匀强磁场B₁与B₂的比值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）带电粒子相邻两次经过P点的时间间隔T为$\frac{（8+3π+5\sqrt{2}π）L}{4v}$；
（3）EF两点间的距离为0．
（4）两带电粒子第一次从P点射出时的时间间隔△t为$\frac{2L}{v}$．

点评本题关键明确粒子的运动性质，画出运动轨迹，然后分匀速圆周运动和直线运动阶段讨论．

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6．

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