Question

8．经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的直径远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期为T的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m₁：m₂=3：1．则可知（　　）

• A． m₁：m₂做圆周运动的角速度之比为3：1
• B． m₁：m₂做圆周运动的线速度之比为1：3
• C． m₁做圆周运动的半径为$\frac{L}{3}$
• D． 双星系统的总质量为$\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{GT^2}$

Answer 1

分析 双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．对两颗星分别运用牛顿第二定律和万有引力定律列式，即可进行求解．

解答 解：A、双星靠相互间的万有引力提供向心力，角速度相等，故${m}_{1}^{\;}$与${m}_{2}^{\;}$的角速度之比为1：1，故A错误；
B、根据万有引力提供向心力，有$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{r}_{1}^{\;}={m}_{2}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{r}_{2}^{\;}$，得${m}_{1}^{\;}{r}_{1}^{\;}={m}_{2}^{\;}{r}_{2}^{\;}$，即$\frac{{r}_{1}^{\;}}{{r}_{2}^{\;}}=\frac{{m}_{2}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}}=\frac{1}{3}$，根据v=ωr得$\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=\frac{{r}_{1}^{\;}}{{r}_{2}^{\;}}=\frac{1}{3}$，故B正确；
C、$\frac{{r}_{1}^{\;}}{{r}_{2}^{\;}}=\frac{1}{3}$，${r}_{1}^{\;}+{r}_{2}^{\;}=L$解得：${r}_{1}^{\;}=\frac{L}{4}$，故C错误；
D、根据万有引力提供向心力，有$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{r}_{1}^{\;}={m}_{2}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{r}_{2}^{\;}$
解得：$G{m}_{2}^{\;}={ω}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}{r}_{1}^{\;}$
$G{m}_{1}^{\;}={ω}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}{r}_{2}^{\;}$
得$G{m}_{总}^{\;}={ω}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}$
解得：${m}_{总}^{\;}=\frac{{ω}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}}{G}=\frac{（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}}{G}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，故D错误；
故选：B

点评 解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及会用万有引力提供向心力进行求解．