Question

5．我国第一颗绕月探测卫星--嫦娥一号于2007年10月24日成功发射．如图所示，嫦娥一号进入地月转移轨道段后，关闭发动机，在万有引力作用下，嫦娥一号通过P点时的运动速度最小．嫦娥一号到达月球附近后进入环月轨道段．若地球质量为M，月球质量为m，地心与月球中心距离为R，嫦娥一号绕月球运动的轨道半径为r，G为万有引力常量，则下列说法正确的是（　　）

• A． P点距离地心的距离为$\frac{{\sqrt{M}}}{{\sqrt{M}+\sqrt{m}}}$R
• B． P点距离地心的距离为$\frac{M}{M+m}$R
• C． 嫦娥一号绕月运动的线速度为$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
• D． 嫦娥一号绕月运动的周期为2πR$\sqrt{\frac{R}{Gm}}$

Answer 1

分析 嫦娥一号通过P点时的运动速度最小，此时地球和月球对卫星的万有引力大小相等，根据万有引力定律求解P点距离地心的距离；嫦娥一号绕月运动时，由月球的万有引力提供向心力，根据万有引力定律和向心力公式列式求解线速度和周期．

解答 解：A、据题知嫦娥一号通过P点时地球和月球对卫星的万有引力大小相等，设P点到地心和月心的距离分别为r₁和r₂．
则有 $\frac{GM{m}_{卫}}{{{r}_{1}}^{2}}=G\frac{m{m}_{卫}}{{{r}_{2}}^{2}}$，又r₁+r₂=R，解得：r₁=$\frac{{\sqrt{M}}}{{\sqrt{M}+\sqrt{m}}}$R，故A正确，B错误．
C、嫦娥一号绕月运动时，由月球的万有引力提供向心力，则有：$G\frac{m{m}_{卫}}{{r}^{2}}={m}_{卫}\frac{{v}^{2}}{r}={m}_{卫}r\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得线速度v=$\sqrt{\frac{Gm}{r}}$，T=$2πr\sqrt{\frac{r}{Gm}}$，故C、D错误．
故选：A．

点评 解决本题的关键理解P点的引力关系，以及掌握万有引力提供向心力，能灵活选择向心力的形式进行解答．