Question

13．如图所示，M、N为两平行金属板，其间电压为U，质量为m、电荷量为+q的粒子，从M板由静止开始经电场加速后，从N板上的小孔射出，并沿与ab垂直的方向由d点进入△abc区域，不计粒子重力，已知bc=l，∠c=60°，∠b=90°，ad=$\frac{\sqrt{3}}{3}$l．
（1）求粒子从N板射出时的速度v₀；
（2）若abc区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，要使粒子不从ac边界射出，则磁感应强度应为多大？
（3）若abc区域内存在平行纸面且垂直bc方向的匀强电场，要使粒子不从ac边界射出，电场强度应为多大？

Answer 1

分析 （1）粒子在加速电场中加速时只有电场力做功，根据动能定理求得粒子射出N时的速度大小；
（2）粒子在磁场作用下做匀速圆周运动，作出粒子不从ac边射出时粒子圆周运动的临界轨迹，根据几何关系求得圆周运动的最大半径，再根据洛伦兹力提供圆周运动向心力求得磁感应强度多大；
（3）粒子进入电场做类平抛运动，根据要求粒子不从ac边界射出，则粒子到达ac边界时，粒子速度方向与ac边界平行，根据类平抛运动求解即可．

解答 解：（1）带电粒子在MN间加速，由动能定理可得：
$qU=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-0
可得粒子从N射出时的速度v₀=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，磁感应强度越大，粒子做圆周运动的半径越小，当磁感应强度最小时，恰不从ac边界射出粒子到达ac边界时，速度方向沿ac方向，此时粒子不从ac边界射出做圆周运动的最大半径为r_m
据洛伦兹力提供圆周运动向心力有：$q{v}_{0}{B}_{min}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{m}}$
由几何关系可得，粒子圆周运动的最大半径
${r}_{m}=\frac{l}{3}tan60°$
代入解得B_min=$\frac{m{v}_{0}}{q{r}_{m}}$=$\frac{1}{l}\sqrt{\frac{6mU}{q}}$
即粒子不从ac边界射出时满足B≥$\frac{1}{l}\sqrt{\frac{6mU}{q}}$
（3）带电粒子在电场中做类平抛运动，电场强度最小为E₀时，粒子运动到ac界面的速度方向沿ac方向，设ab和bc方向的位移大小分别为y和x，
到达界面时沿ab方向分速度大小为v_y，则
x=v₀t
$y=\frac{{v}_{y}}{2}t$
v_y=v₀tan60°
$xtan60°-\frac{\sqrt{3}}{3}l=y$
解得：$y=\frac{\sqrt{3}}{3}l$
粒子到达ac边界时的速度大小为v
v=$\frac{{v}_{0}}{cos60°}$
据动能定理有：
$q{E}_{0}y=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：E₀=$\frac{3\sqrt{3}U}{l}$
所以满足要求的电场强度为E≥E₀，即$E≥\frac{3\sqrt{3}U}{l}$
答：（1）粒子从N板射出时的速度为$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）若abc区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，要使粒子不从ac边界射出，则磁感应强度应满足大于等于$\frac{1}{l}\sqrt{\frac{6mU}{q}}$；
（3）若abc区域内存在平行纸面且垂直bc方向的匀强电场，要使粒子不从ac边界射出，电场强度应满足$E≥\frac{3\sqrt{3}U}{l}$．

点评 本题粒子先在电场中偏转，运用运动的分解法研究；后在磁场中做匀速圆周运动，画轨迹、几何知识求出半径是常用的方法和思路．