Question

10．如图所示，在水平向右的匀强电场中，一长为L的细线拴一质量为m带电量为+q的小球，小球不运动时停在B处，B处细线与竖直方向成37°，当地重力加速度为g，空气阻力不计．现将小球拉到最低位置A点由静止释放（Sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）匀强电场的场强大小
（2）小球运动过程所能获得的最大动能
（3）要想小球做完整的圆周运动，在A处至少要给小球多大的初速？

Answer 1

分析 （1）小球静止A点时，受到重力、电场力和绳子的拉力而平衡，根据平衡条件求出电场强度的大小．
（2）将小球拉至O点正下方最低点由静止释放，小球向上摆动过程中经过平衡位置时速度最大，动能最大．
（3）当小球恰好到达B点关于悬点的对称点时，由电场力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球经这点的速度，由动能定理求出初速度．

解答 解：（1）小球静止A点时，受力如图所示
据三力平衡条件，得   tanθ=$\frac{qE}{mg}$
         解得，E=$\frac{mgtanθ}{q}$=$\frac{mgtan37°}{q}$
（2）小球运动到平衡位置时速度最大，由动能定理，得
   qELsinθ-mgL（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv² ②
  则最大动能为E_K=qELsin37°-mgL（1-cos37°）
（3）设B′点与B点对悬点O对称，即B′B为圆轨迹的直径，当小球恰好能运动到B′点时，就能在竖直面内恰好做完整的圆周运动
    在B′点，重力与电场力的合力提供向心力$\frac{mg}{cosθ}$=m$\frac{{V}_{B′}^{2}}{L}$
设将小球拉至O点正下方最低点时给它一水平向右的初速度为v₀，由动能定理，得
-2mgLcosθ-qELsinθ=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：v₀=$\sqrt{\frac{3gL}{cosθ}+2gLcosθ}$=$\sqrt{\frac{3gL}{cos37°}+2gLcos37°}$
答：（1）匀强电场的场强大小为=$\frac{mgtan37°}{q}$
（2）小球运动过程所能获得的最大动能为qELsin37°-mgL（1-cos37°）

（3）要想小球做完整的圆周运动，在A处至少要给小球初速为$\sqrt{\frac{3gL}{cos37°}+2gLcos37°}$

点评 本题小球的运动类似于单摆，关于平衡位置具有对称性，α=2θ．B点相当于竖直平面内圆周运动的最高点，也称为物理最高点