Question

【题目】如图所示，在水平面的上方有一固定的水平运输带，在运输带的左端A处用一小段光滑的圆弧与一光滑的斜面平滑衔接，该运输带在电动机的带动下以恒定的向左的速度v0＝2 m/s运动．将一可以视为质点的质量为m＝2 kg的滑块由斜面上的O点无初速度释放，其经A点滑上运输带，经过一段时间滑块从运输带最右端的B点离开，落地点为C.已知O点与A点的高度差为H1＝1.65 m，A点与水平面的高度差为H2＝0.8 m，落地点C到B点的水平距离为x＝1.2 m，g取10 m/s2.

(1)求滑块运动到C点时的速度大小；

(2)如果仅将O点与A点的高度差变为H′1＝0.8 m，且当滑块刚好运动到A点时，撤走斜面，求滑块落在水平面上时的速度大小；

(3)在第(2)问情况下滑块在整个运动过程中因摩擦而产生的热量有多少？

Answer 1

【答案】(1)5 m/s (2)2 m/s (3)36 J

【解析】(1)设滑块滑至运输带的右端时速度为v1，滑块自运输带右端飞出至落地的时间为t，则在水平方向上，x＝v1t

在竖直方向上，H2＝gt2

设滑块落地时的速度为v，根据机械能守恒定律得＋mgH2＝mv2

联立解得v1＝3 m/s，v＝5 m/s.

(2)设滑块从高H1＝1.65 m处的O点由静止开始下滑到运输带上，再滑到运输带右端过程中，摩擦力对滑块做功为Wf，由动能定理得mgH1＋Wf＝。

解得Wf＝－24 J

滑块从高H′1＝0.8 m处的O点由静止开始下滑到运输带上，由于mgH′1<|Wf|，在滑到运输带右端前滑块的速度就减为零，然后滑块要向左运动，设滑块从高H′1＝0.8 m处由静止开始下滑到达运输带左端的速度为v′0，则mgH′1＝

解得v′0＝4 m/s

因为v0<v′0，故滑块在运输带上向左运动的过程中，先加速至与运输带速度相同，后匀速运动至运输带左端做平抛运动，设滑块从运输带左端抛出，落地时的速度大小为v2，根据机械能守恒定律得＋mgH2＝

解得v2＝2 m/s.

(3)设滑块与运输带间的动摩擦因数为μ，滑块从高H′1＝0.8 m处由静止开始下滑，在运输带上减速到零的过程中，滑块在运输带上运动的时间为t1，滑块与运输带摩擦所产生的热量为Q1，则有Q1＝μmg(t1＋v0t1)

对滑块，由动能定理得－μmgt1＝0－

设滑块后来又向运输带左端运动的过程中，滑块加速至v0运动的时间为t2，滑块与运输带摩擦所产生的热量为Q2，则Q2＝μmg(v0t2－t2)

对滑块，由动能定理得μmgt2＝－0

则滑块自释放至落地全过程中滑块与运输带摩擦所产生的热量Q＝Q1＋Q2

解得Q＝36 J.