题目内容
【题目】在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a–x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则
A. M与N的密度相等
B. Q的质量是P的3倍
C. Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D. Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
【答案】AC
【解析】
A、由a-x图象可知，加速度沿竖直向下方向为正方向，根据牛顿第二定律有：
，变形式为：
，该图象的斜率为
，纵轴截距为重力加速度
。根据图象的纵轴截距可知，两星球表面的重力加速度之比为：
；又因为在某星球表面上的物体，所受重力和万有引力相等，即：
，即该星球的质量
。又因为：
，联立得
。故两星球的密度之比为：
，故A正确；
B、当物体在弹簧上运动过程中，加速度为0的一瞬间，其所受弹力和重力二力平衡，
，即：
；结合a-x图象可知，当物体P和物体Q分别处于平衡位置时，弹簧的压缩量之比为：
，故物体P和物体Q的质量之比为：
，故B错误；
C、物体P和物体Q分别处于各自的平衡位置（a=0）时，它们的动能最大；根据
，结合a-x图象面积的物理意义可知：物体P的最大速度满足
，物体Q的最大速度满足：
，则两物体的最大动能之比：
，C正确；
D、物体P和物体Q分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置（a=0）可知，物体P和Q振动的振幅A分别为
和
，即物体P所在弹簧最大压缩量为2，物体Q所在弹簧最大压缩量为4，则Q下落过程中，弹簧最大压缩量时P物体最大压缩量的2倍，D错误；
故本题选AC。
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