Question

12．如图所示，间距为L的两根光滑$\frac{1}{4}$圆弧轨道置干水平面上，其轨道末端水平，圆弧轨道半径为r，电阻不计．在其上端连有阻值为R₀的电阻，整个装置处于如图所示的径向磁场中，圆弧轨道处的磁感应强度大小为B．现有一根长度等于L，、质量为m、电阻为R的金属棒从轨道的顶端PQ处由静止开始下滑，到达轨道底端MN时对轨道的压力为2mg（重力加速度为g）．求：
（1）金属捧到达轨道底端时金属棒两端的电压；
（2）金属棒下滑过程中通过电阻R₀的电荷量．

Answer 1

分析 （1）金属棒在轨道底端MN时，重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律可求出金属棒到MN时的速度，再根据法拉第电磁感应定律E=BLv结合分压关系式即可求出金属棒两端的电压；
（2）利用电流定义式、闭合电路欧姆定律、法拉第电磁感应定律E=n$\frac{△φ}{△t}$，联立即可求出电量表达式q=n$\frac{△φ}{{R}_{总}}$，代入数据求解即可．

解答 解：（1）当金属棒运动到轨道底端MN时，设金属棒此时速度为v，
根据牛顿第二定律可得：2mg-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\sqrt{gr}$ ①
导体棒切割磁场产生的感应电动势：E=BLv ②
根据闭合电路欧姆定律可得金属棒两端电压：U=$\frac{R}{R+{R}_{0}}$E ③
联立①②③式可得：U=$\frac{BLR\sqrt{gr}}{R+{R}_{0}}$
（2）通过的电荷量：q=$\overline{I}$•△t ④
闭合电路欧姆定律：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+{R}_{0}}$ ⑤
法拉第电磁感应定律：$\overline{E}$=n$\frac{△φ}{△t}$ ⑥其中匝数n=1
磁通量变化量：△φ=BL•$\frac{πr}{2}$ ⑦
联立④⑤⑥⑦式可得：q=$\frac{BLπr}{2（R+{R}_{0}）}$
答：（1）金属捧到达轨道底端时金属棒两端的电压为$\frac{BLR\sqrt{gr}}{R+{R}_{0}}$；
（2）金属棒下滑过程中通过电阻R₀的电荷量为$\frac{BLπr}{2（R+{R}_{0}）}$．

点评 本题难度不大，主要考查竖直平面内的圆周运动、法拉第电磁感应定律以及闭合电路欧姆定律的综合运用，注意第二问中磁通量的变化量△φ的求解，其中磁场穿过的有效面积为$\frac{1}{4}$柱面的面积．