题目内容
“重力探矿”是常用的探测石油矿藏的方法之一。其原理可简述如下：如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为
；石油密度远小于，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏差。重力加速度在原坚直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为G。
（1）“重力探矿”利用了“割补法”原理：如图所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后，剩余的阴影部分对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大?
（2）设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），
=x，利用“割补法”原理：如果将近地表的球形空腔填满密度为的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常值可通过填充后的球形区域对Q处物体m产生的附加引力
来计算,式中M是填充岩石后球形区域的质量,求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常值
（
在OP方向上的分量）
（3）若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在
与
（k>1）（为常数）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心,如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。
（1）
；（2）
；（3）
；
解析试题分析:（1）把整个球体对质点的引力F看成是挖去的小球体对质点的引力F1和剩余部分对质点的引力F2之和，即F=F1+F2
填补上的空穴的完整球体对质点m的引力
，挖去的半径为R/2的小球的质量
，对质点m的引力
挖去剩余部分对质点m的引力
（2）（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值．因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力①来计算，式中的m是Q点处某质点的质量，M是填充后球形区域的质量，M=ρV②．
而r是球形空腔中心O至Q点的距离
，△g在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小．Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向，重力加速度反常△g′是这一改变在竖直方向上的投影
，联立以上式子得
（3）由（2）结论可知：重力加速度反常△g′的最大值和最小值分别为
，
，由题意重力加速度反常值在 与 （k>1）（ 为常数）之间变化可知：由题设有
，
联立以上式子得，地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为；
考点：万有引力定律及其应用
A加金题 系列答案
全优测试卷系列答案天文学家发现某恒星周围有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期．由此可推算出 ( )
| A．行星的质量 | B．行星的半径 | C．恒星的质量 | D．恒星的半径 |
；
；