Question

【题目】宇宙射线中有大量高速飞行的π介子，它们会衰变成μ子和μ型反中微子

已知π介子和μ子的静止质量分别为mπ=139.57061MeV/c2和mμ=105.65837MeV/c2，反中微子的静止质量近似为零.在实验室参照系中测得π介子的飞行速度大小为=0.965c(c=3.00×108m/s为真空中的光速).

(1)求上述衰变过程产生的μ子的最大速率和最小速率；

(2)上述衰变产生的μ子从距离地面10000m的高空竖直向下飞行，已知静止的μ子的半衰期=1.523μs，求地面观察者能够观测到的μ子的最大概率.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

在相対于π介子静止的参照系S′(π介子的貭心系)中，由劫量守恒有

(1)

式中和分别是μ子和μ型反中微子在S′系中的动量；由能量守恒有

(2)

式中和分别是μ子和μ型反中微子在S′系中的能量.自由粒子的能量与幼量満足

， (3)

利用，(2)式即

(4)

式中

而是μ子在S′系中的运行速度。利用(1)(3)(4)式得

上式两边平分得

即

解得

(5)

由此可导出μ子在S′系中的速度为:

(6)

假设在实验室系S中，π介子以及衰变后的μ子的飞行方向之间的夹角为θ，这一夹角在S′系中对应于夹角θ′.按相对论速度变换规则，在实验室系S中，μ子的飞行速度的大小u满足

此即

由上式可知，从π介子衰变得到的μ子的最大速率和最小速率分别出现在θ′=0和θ′=π的情形，正好分别相应于θ=0和θ=π的情形.于是由

可知，从π介子衰变得到的μ子的最大速率和最小速率分别为

(7)

(8)

(2)根据放射性衰变规律，μ子的衰变率满足

(9)

式中，N0为初始μ子数，Nt为t时刻的μ子数，Δt为μ子走完h=10000m路程所需的时间间隔。Δt在情形下最短，从而在地面附近出现的概率最大，即

(10)

由于时间膨胀效应，其半衰期在地面参照系中为

(11)

从而，在地面上观测到这个μ子的概率为

(12)