Question

12．如图所示，在倾角为30°（斜面光滑且足够长）的固定斜面上端用长l₀=20cm、劲度系数为k=100N/m的弹簧连接质量均为1kg的物体，A放在B上，将物块从弹簧长度为25cm处由静止开始释放，A、B两物块在以后的运动中一直没有发生相对滑动．
（1）求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
（2）从动力学角度证明物块做简谐运动；
（3）当沿斜面向上运动到弹簧长度为28cm时物体A所受摩擦力的大小和方向
（4）整个运动过程中物体A所受摩擦力的最大值为多少．

Answer 1

分析 （1）物块处于平衡位置时合力为零，由平衡条件和胡克定律结合求解．
（2）当物体所受的合力为零时，物体处于平衡位置，结合共点力平衡求出平衡位置时的弹簧伸长量，从而得出弹簧的长度．抓住x表示物块相对于平衡位置的位移，根据牛顿第二定律推导回复力是否满足F=-kx．
（3）先以AB整体为研究对象，求出加速度，再对A，由牛顿第二定律求解．
（4）当AB的位移最大时，加速度最大，A所受的摩擦力最大．由牛顿第二定律求解．

解答 解：（1）物块处于平衡位置时合力为零，则有
  2mgsin30°=k（l-l₀）
代入得：2×1×10×0.5=100×（l-0.2）
解得 l=0.3m
（2）设AB整体在斜面上平衡时，弹簧伸长量为△l，有：
  2mgsin30°-k△l=0
解得：△l=$\frac{2mgsin30°}{k}$．
当物块的位移为x时，弹簧伸长量为x+△l，整体所受合力为：
 F_合=2mgsinα-k（x+△l）
联立以上各式可得：F_合=-kx，可知物块作简谐运动．
（3）当沿斜面向上运动到弹簧长度为28cm时，由牛顿第二定律得：
对整体：2mgsin30°-k（l₁-l₀）=2ma
取沿斜面向下为正方向，对A有：mgsin30°+f=ma
联立解得 f=-4N，负号表示A所受摩擦力方向沿接触面向上．
（4）当A运动到最低点时，由牛顿第二定律得：
对整体：kA=2ma_m；
对A：f-mgsin30°=ma_m；
其中振幅 A=l-0.25m=0.05m
联立解得物体A所受摩擦力的最大值 f=7.5N
答：
（1）物块处于平衡位置时弹簧的长度为0.3m．
（2）证明见上．
（3）物体A所受摩擦力的大小为4N，方向沿接触面向上．     
（4）物体A所受摩擦力的最大值为7.5N．

点评 本题考查牛顿第二定律和胡克定律的综合运用，关键是理清过程，确定出平衡位置，得出振幅的大小是解决本题的关键．