Question

17．如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一质量m=1kg的小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为30⁰，g取10m/s²．
（1）若ω=$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$rad/s，求小物体通过最高点时，所受摩擦力的大小和方向；
（2）若ω=$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$rad/s，求当小物体通过与圆心等高处时的摩擦力大小；
（3）求ω的最大值．

Answer 1

分析 （1）在最高点，物块靠重力沿斜面向下的分力和静摩擦力提供向心力，结合牛顿第二定律求出摩擦力的大小和方向．
（2）小物体通过与圆心等高处时，抓住重力沿斜面向下的分力和静摩擦力的合力提供向心力，求出小物体通过与圆心等高处时的摩擦力大小．
（3）小物体在最低点所受的静摩擦力最大，根据牛顿第二定律，结合最大静摩擦力求出角速度的最大值．

解答 解：（1）小物体在最高点，根据牛顿第二定律得，f+mgsinθ=mrω²，
解得f=mrω²-mgsinθ=$1×2.5×\frac{100}{25}-10×\frac{1}{2}$N=5N，方向沿盘面向下．
（2）小物体通过与圆心等高处时，重力沿斜面向下的分力和静摩擦力的合力提供向心力，
$\sqrt{{f}^{2}-（mgsinθ）^{2}}=mr{ω}^{2}$，
代入数据解得f=$5\sqrt{5}$N．
（3）小物体在最低点所受的摩擦力最大，
在最低点，根据牛顿第二定律有：${f}_{m}-mgsinθ=mr{{ω}_{m}}^{2}$，
又f_m=μmgcosθ，
代入数据解得ω_m=1.0rad/s．
答：（1）小物体通过最高点时，所受摩擦力的大小为5N，方向沿盘面向下．
（2）小物体通过与圆心等高处时的摩擦力大小为$5\sqrt{5}$N．
（3）ω的最大值为1.0rad/s．

点评 解决本题的关键知道小物体做圆周运动向心力的来源，抓住临界状态，结合牛顿第二定律进行求解，难度中等．