Question

17．一磁感强度为B₀的有界匀强磁场区域如图甲所示，质量为m，电阻为R的矩形线圈abcd边长分别为L和2L，线圈一半在磁场内，一半在磁场外．从t₁=0时刻磁场的磁感应强度开始均匀减小，线圈中产生感应电流，在磁场力作用下运动，其运动的v-t图象如图乙所示，图中斜向虚线为过0点速度曲线的切线，数据由图中给出．不考虑重力影响：求：
（1）线圈中感应电流的方向
（2）线圈的最大加速度
（3）磁场中磁感应强度的变化率$\frac{△B}{△t}$
（4）t₃时刻回路的电功率P．

Answer 1

分析 （1）根据楞次定律判断出线圈中的感应电流方向．
（2）根据图线的切线斜率求出最大加速度．
（3）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律，结合牛顿第二定律求出磁感应强度的变化率．
（4）分析在t₃时刻，线圈可能处于位置状态．其中磁场没有消失，但线圈完全进入磁场，由于磁感应强度开始均匀减小，会产生感生电动势，由ab和cd两边切割磁感线产生的动生感应电动势抵消．

解答 解：（1）根据楞次定律知，磁通量减小，感应电流为顺时针方向
（2）从图线可知，t=O时刻线圈速度为零，加速度最大为：$a=\frac{{v}_{0}}{{t}_{1}}$．
（3）t=O时刻，线框中感应电动势：$E=\frac{△Φ}{△t}={L^2}\frac{△B}{△t}$，$I=\frac{E}{R}=\frac{L^2}{R}•\frac{△B}{△t}$
由$F={B_0}IL=\frac{{B_0^{\;}{L^3}}}{R}•\frac{△B}{△t}=ma$，
可解得：$\frac{△B}{△t}=\frac{{m{v_0}R}}{{{B_0}{t_1}{L^3}}}$
（4）线圈在t₂时刻开始做匀速运动，在t₃时刻应有两种可能：一是，线圈没有完全进入磁场，磁场就消失，线框内没有感应电流，回路电功率P=O；
二是，磁场没有消失，但线圈完全进入磁场，尽管有感应电流，但各边所受磁场力的合力为零，由ab和cd两边切割磁感线产生的感应电动势抵消，
回路电功率$P=\frac{E^2}{R}=\frac{{{{（{2{L^2}\frac{△B}{△t}}）}^2}}}{R}=\frac{{4{m^2}v_0^2R}}{{B_0^2t_1^2{L^2}}}$．
答：（1）线圈中感应电流的方向为顺时针方向．
（2）线圈的最大加速度为$\frac{{v}_{0}}{{t}_{1}}$．
（3）磁场中磁感应强度的变化率为$\frac{m{v}_{0}R}{{B}_{0}{t}_{1}{L}^{3}}$；
（4）t₃时刻回路的电功率为0或$\frac{4{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}R}{{{B}_{0}}^{2}{{t}_{1}}^{2}{L}^{2}}$．

点评 本题考查了电磁感应与动力学和电路知识的综合，对于感应电流方向的判断要按照步骤解决．对于图象问题，我们要清楚某一点切线斜率的物理意义．