Question

16．如图所示，质量为4m的足够长木板C静止在光滑水平面上，质量均为m的两个小物体A、B放在C的左端，A、B间距离为d，现同时对A、B施加水平向右的瞬时冲量而使之分别获得初速度v₀和3v₀，A、B始终未滑离C，若A、B与C之间的动摩擦因数分别为μ和3μ，求：
（1）运动过程中A的最小速度；
（2）最终A、B相距多远．
（3）整个过程中A与C及B与木板C因摩擦所产生的热量之比．

Answer 1

分析 （1）对A、B施加水平向右的瞬时冲量，使之分别获得初速度v₀和3v₀后，A、B都向右做减速运动，B向右做加速运动，当A与C的速度相同后，AC一起向右做加速运动，那么AC相对静止时A的速度最小．根据动量守恒定律和动量定理分别对A、长木板研究，求出运动过程中A的最小速度．
（2）根据牛顿第二定律分别求出AC相对静止前后三个物体的加速度大小，由速度位移公式求出从开始运动到三个物体均相对静止时相对于地面的位移，再求出A与B最终相距的距离．
（3）结合运动学公式求出整个过程中C的位移大小，从而得出A、B相对C滑动的位移大小，结合摩擦产生的热量与相对位移的关系求出产生的热量之比．

解答 解：（1）当A、C速度相等时，A的速度最小，
设经过t时间，A与C相对静止，共同速度为v_AC，此时B的速度为v_B，规定向右为正方向，由动量守恒得：
mv₀+3mv₀=（m+4m）v_AC+mv_B
根据动量定理，
对A：-μmgt=m（v_AC-v₀）
对C：（μmg+3μmg）t=4mv_AC
联立以上三式解得：v_AC=0.5v₀，v_B=1.5v₀．
（2）AC相对静止前，AB做匀减速运动，C做匀加速运动，三个物体的加速度分别为：
${a}_{A}=\frac{μmg}{m}=μg$，${a}_{B}=\frac{3μmg}{m}=3μg$，${a}_{C}=\frac{μmg+3μmg}{4m}=μg$，
AC相对静止后，AC做匀加速运动，B做匀减速运动，三个物体的加速度分别为：
${a}_{A}′={a}_{C}′=\frac{3μmg}{5m}=\frac{3μg}{5}$，
a_B′=a_B=3μg，
最终三个物体一起做匀速直线运动．
从开始运动到三个物体都相对静止，A、B相对于地的位移分别为：
${s}_{A}=\frac{{{v}_{0}}^{2}-{{v}_{AC}}^{2}}{2{a}_{A}}+\frac{{v}^{2}-{{v}_{AC}}^{2}}{2{a}_{A}′}$=$\frac{29{{v}_{0}}^{2}}{54μg}$，
${s}_{B}=\frac{（3{v}_{0}）^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{B}}$=$\frac{77{{v}_{0}}^{2}}{54μg}$，
规定向右为正方向，对三者组成的系统运用动量守恒得：
mv₀+3mv₀=（m+m+4m）v
解得：v=$\frac{2}{3}$v₀．
所以A与B最终相距为：△s=d+s_B-s_A=d+$\frac{8{{v}_{0}}^{2}}{9μg}$．
（3）C在整个过程中的位移为：${s}_{C}=\frac{{{v}_{AC}}^{2}}{2{a}_{C}}+\frac{{v}^{2}-{{v}_{AC}}^{2}}{2{a}_{C}′}$=$\frac{31{{v}_{0}}^{2}}{108μg}$，
可知A相对C滑动的位移为：$△{x}_{A}={s}_{A}-{s}_{C}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{4μg}$，
B相对C滑动的位移为：△x_B=s_B-s_C=$\frac{41{{v}_{0}}^{2}}{36μg}$．
Q_A=μmg△x_A，Q_B=3μmg△x_B，
解得：$\frac{{Q}_{A}}{{Q}_{B}}$=$\frac{3}{41}$．
答：（1）运动过程中A的最小速度为0.5v₀；
（2）最终A、B相距d+$\frac{8{{v}_{0}}^{2}}{9μg}$．
（3）整个过程中A与C及B与木板C因摩擦所产生的热量之比为3：41．

点评 本题综合考查了动量守恒定律、动量定理、牛顿运动定律和运动学公式，运动过程比较复杂，研究对象比较多，按程序法进行分析，理清物体在整个过程中的运动规律，选择合适的规律进行求解．