Question

2．如图所示，固定于水平面的两足够长的光滑平行金属导轨PMN、P′M′N′，由倾斜和水平两部分在M、M′处平滑连接组成，导轨间距L=1m，水平部分处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=1T．金属棒a、b垂直于倾斜导轨放置，质量均为m=0.2kg，a的电阻R₁=1Ω，b的电阻R₂=3Ω，a、b长度均为L=1m，棒a距水平面的高度h₁=0.45m，棒b距水平面的高度为h₂（h₂＞h₁）；保持b棒静止，由静止释放a棒，a棒到达磁场中OO′停止运动，后再由静止释放b棒，a、b与导轨接触良好且导轨电阻不计，重力加速度g=10m/s²．
（1）求a棒进入磁场MM′时加速度的大小；
（2）a棒从释放到OO′的过程中，求b棒产生的焦耳热；
（3）若MM′、OO′间的距离x=2.4m，b棒进入磁场后，恰好未与a棒相碰，求h₂的值．

Answer 1

分析 （1）金属棒a下滑的过程中，由动能定理求a棒刚进入磁场MM′时的速度．再由E=BLv、I=$\frac{E}{R+r}$、F=BIL求出安培力，再使用牛顿第二定律求出加速度；
（2）运用能量守恒定律求出b棒产生的焦耳热；
（3）b棒进入磁场后，恰好未与a棒相碰，两者速度相同，运用动量守恒定律求共同速度，再对两棒分别运用动量定理列式，联立求出h₂的值．

解答 解：（1）设a棒从释放到MM′时的速度为v₁．由动能定理得
  mgh₁=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
进入磁场后a棒产生的感应电动势 E=BLv₁．
感应电流 I=$\frac{E}{{R}_{a}+{R}_{b}}$
对a棒，由牛顿第二定律得
   BIL=ma
代入数据解得 a=3.75m/s²．
（2）设a、b产生的总焦耳热为Q，由能量守恒得
  Q=mgh₁
则b棒产生的焦耳热 Q_b=$\frac{{R}_{b}}{{R}_{a}+{R}_{b}}$Q=$\frac{3}{4}$Q
联立解得 Q_b=0.675J
（3）设b棒到MM′时的速度为v₂．由动能定理得
  mgh₂=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
b棒进入磁场后，两棒组成的系统合外力为零，系统的动量守恒，设a、b一起匀速运动的速度为v，取向右为正方向，由动量守恒定律得
    mv₂=2mv
设a棒经时间△t达到v，对a，由动量定理得
  B$\overline{i}$L•△t=mv-0
又 q=$\overline{i}$△t
$\overline{i}$=$\frac{\overline{E}}{{R}_{a}+{R}_{b}}$
由法拉第电磁感应定律得 $\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$
a、b恰好不相碰，有△Φ=BLx
联立解得 h₂=1.8m
答：
（1）a棒进入磁场MM′时加速度的大小是3.75m/s²；
（2）a棒从释放到OO′的过程中，b棒产生的焦耳热是0.675J；
（3）若MM′、OO′间的距离x=2.4m，b棒进入磁场后，恰好未与a棒相碰，h₂的值是1.8m．

点评 该题是电磁感应与力学多个知识点的综合运用．做这类问题我们还是应该从运动过程分析和受力分析入手研究，运用力学物理规律求解问题．要注意a、b两棒进入磁场时系统的合外力为零，遵守动量守恒定律．