Question

8．宇航员在某行星上自地面高h处自由释放一物体，落到行星表面的时间为t，已知行星的半径R，行星质量分布均匀，万有引力常量为G，求：
（1）该行星的质量及密度分别为多大？
（2）若一颗卫星绕该行星运转的角速度为ω，则卫星距行星表面的高度H为多大？

Answer 1

分析 （1）先由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，求出行星表面重力加速度．再根据星球表面重力与万有引力相等，列式即可求出该行星的质量；进一步求出密度．
（2）根据万有引力提供圆周运动向心力，由卫星的角速度求得卫星的轨道半径，再根据轨道半径求得离地高度．

解答 解：（1）设行星表面重力加速度为g．
由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
得 g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$
设一质量m的物体在该行星的表面上时，行星的万有引力等于其重力，则得
  mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
可得行星的质量 M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$
密度为 ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3h}{2πGR{t}^{2}}$
（2）设该卫星距行星表面高度为h，
根据万有引力提供卫星向心力有：
  G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=mω²（R+h）
又GM=gR²；
联立解得 h=$\root{3}{\frac{2h{R}^{2}}{{ω}^{2}{t}^{2}}}$-R；
答：（1）该行星的质量$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$，密度为$\frac{3h}{2πGR{t}^{2}}$；
（2）若一颗卫星绕该行星运转的角速度为ω，则卫星距行星表面的高度为$\root{3}{\frac{2h{R}^{2}}{{ω}^{2}{t}^{2}}}$-R．

点评 本题的入手主要围绕万有引力等于星球表面重力，和万有引力提供卫星圆周运动向心力．掌握规律是正确解题的关键．