题目内容

1．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速转动．一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°．重力加速度大小为g．
（1）若ω=ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；
（2）ω=（1±k）ω0，且0＜k＜＜1，求小物块受到的摩擦力大小和方向．

分析 （1）若ω=ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度的大小．
（2）当ω＞ω0，重力和支持力的合力不够提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向下，根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小．当ω＜ω0，重力和支持力的合力大于向心力，则摩擦力的方向沿罐壁切线向上，根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小．

解答 解：（1）当摩擦力为零，支持力和重力的合力提供向心力，有：
mgtanθ=mRsinθω02，解得
${ω}_{0}=\sqrt{\frac{2g}{R}}$
（2）当ω=（1+k）ω0时，重力和支持力的合力不够提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向下，
根据牛顿第二定律得，fcos60°+Ncos30°=mRsin60°ω2．
fsin60°+mg=Nsin30°
联立两式解得$f=\frac{\sqrt{3}k（2+k）}{2}mg$

当ω=（1-k）ω0时，摩擦力方向沿罐壁切线向上，
根据牛顿第二定律得，Ncos30°-fcos60°=mRsin60°ω2．
mg=Nsin30°+fsin60°
联立两式解得f=$\frac{\sqrt{3}k（2-k）}{2}mg$．
答：（1）小物块受到的摩擦力恰好为零时，${ω}_{0}=\sqrt{\frac{2g}{R}}$．
（2）当ω=（1+k）ω0时，摩擦力方向沿罐壁切线向下，大小为$f=\frac{\sqrt{3}k（2+k）}{2}mg$．
当ω=（1-k）ω0时，摩擦力方向沿罐壁切线向上，大小为$\frac{\sqrt{3}k（2-k）}{2}mg$．

点评 解决本题的关键搞清物块做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律，抓住竖直方向上合力为零，水平方向上的合力提供向心力进行求解．

练习册系列答案
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D．20～25 s内，观光电梯在加速下降，该同学处于失重状态

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