Question

16．如图所示，在光滑的水平面上，停放着木球和载人小车，木球的质量为m，人和小车的总质量为M，且M=10m，人把木球以相对地面的速度v₀推向竖直的墙壁，球与墙壁碰撞后又以原速度v₀反弹，人接住球后再以相对地面的速度v₀把木球推向墙壁，如此反复，求：
（1）人推球多少次后，才接不到反弹回来的球；
（2）整个过程中，人对系统所做的功（用m、v₀表示）．

Answer 1

分析 （1）根据人、车、木球组成的系统动量守恒求得第一次推出木球后小车的速度；由动量守恒再求出接住球后的速度；同理依此类推，当推出木球后，人和车的速度大于木球的速度时，则人不可能再次推木球，根据动量守恒求解．
（2）根据动能定理可知，人做的功转化为小车、人和木球的动能，据此求解即可；

解答 解：（1）人第一次推出木球前后人车木球组成的系统动量守恒，取小车的速度方向为正方向则有：
Mv₁+m（-v₀）=0
可得人和小车获得的速度：${v}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{M}=\frac{1}{10}{v}_{0}$
推出的木球与墙壁作用后速度大小不变的改变方向相反运动，再次与人和车相互作用再以速度v₀返回
根据动量守恒可知，人与木箱作用一次，人和车的动量增加2mv₀，结合第一次推木箱时，人和车动量增加mv₀，则可知，人与木球最多作用N次后人和小车获得的动量为：
P=（2N-1）mv₀
当人和车的速度大于木球的速度后，木球反弹后将追不上人和车，故不能再次发生碰撞，故此时人和车的速度
${v}_{x}=\frac{P}{M}=\frac{（2N-1）mv}{M}$=$\frac{2N-1}{10}$v₀    ①
此后木球将不再与车碰撞，故满足：
v_x≥v
即：$\frac{2N-1}{10}{v}_{0}＞{v}_{0}$
即N≥$\frac{11}{2}$=5.5
N取整数，故人最多推6次木箱．
（2）将N=6代入①可得：${v}_{6}=\frac{11}{10}{v}_{0}$
根据动能定理可知，人推出木箱过程中所做的功等于人车和木箱增加的动能，故有：
W=$\frac{1}{2}M{v}_{6}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$=$\frac{1}{2}×10m×（\frac{11}{10}{v}_{0}）^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{131}{20}m{v}_{0}^{2}$
答：（1）人推球6次后，才接不到反弹回来的球；
（2）整个过程中，人对系统所做的功为$\frac{131}{20}m{v}_{0}^{2}$．

点评 解决本题的关键是掌握人推木球过程中系统动量守恒，注意根据动量守恒得出人推木球一次后人与车的动量增量，并知道不再推木球的临界条件是人推出木球后车的速度大于等于木球的速度，此后将不会再推木球．