Question

如图甲所示，间距为L=0.3m、足够长的固定光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面成θ=30°角，左端M、P之间连接有电流传感器和阻值为R=0.4Ω的定值电阻．导轨上垂直停放一质量为m=0.1kg、电阻为r=0.20Ω的金属杆ab，且与导轨接触良好，整个装置处于磁感应强度方向垂直导轨平面向下、大小为B=0.50T的匀强磁场中．在t=0时刻，用一与导轨平面平行的外力F斜向上拉金属杆ab，使之从由静止开始沿导轨平面斜向上做直线运动，电流传感器将通过R的电流i即时采集并输入电脑，可获得电流i随时间t变化的关系图线，如图乙所示．电流传感器和导轨的电阻及空气阻力均忽略不计，重力加速度大小为g=10m/s²．
（1）求2s时刻杆ab的速度υ大小；
（2）试证明金属杆做匀加速直线运动，并计算加速度a的大小；
（3）求从静止开始在2秒内通过金属杆ab横截面的电量q；
（4）求2s时刻外力F的功率P．

Answer 1

分析：（1）根据2s时刻的电流通过闭合电路欧姆定律求出感应电动势，从而根据E=BLv求出杆ab的速度大小．
（2）通过闭合电路欧姆定律，结合切割产生的感应电动势大小公式，推导出速度与时间的关系，看是否成正比关系，从而判断金属杆是否做匀加速直线运动．通过v=at得出加速度的大小．
（3）根据法拉第电磁感应定律求出平均感应电动势，从而得出平均电流，根据q=It求出2秒内通过金属杆ab横截面的电量q．也可以通过I-t图线与时间轴所围成的面积表示电量进行求解．
（4）根据牛顿第二定律求出2s时刻的拉力，根据运动学公式求出2s末的速度，从而根据P=Fv求出2s时刻外力F的功率P．

解答：解：（1）设2s时刻的速度为v₂，杆ab切割磁感线产生的感应电动势为：E=BLv₂
根据闭合电路欧姆定律有：E=I（ R+r ）                                         
由以上两式解得：v₂=

I(R+r)

BL

=

0.5(0.4+0.2)

0.5×0.3

m/s=2m/s
（2）v=

I(R+r)

BL

=

R+r

BL

kt
因v与t是一次函数，故金属杆做匀加速直线运动．           
其加速度大小：a=

R+r

BL

k=

0.4+0.2

0.5×0.3

×

1

4

=1m/s2
（3）方法一：q=

.

I

△t=

. E

R+r

△t=

BS

△t(R+r)

△t=

BS

R+r

=

BL 1 2 at2

R+r

=0.5C
方法二：由i-t图象可知：q=

.

I

△t=

1

2

×2.0×0.5C=0.5C
（4）2s时刻的安培力：F_安=BIL=

B2L2v

R+r

=

0.52×0.32×2

0.4+0.2

=7.5×10-2N
由牛顿第二定律得：F-F_安-mgsinθ=ma                                  
则此时的外力：F=F_安+mgsinθ+ma=7.5×10^-2N+0.1×10×0.5N+0.1×1N=0.675N  
则功率：P=Fv=0.675×2W=1.35W      
答：（1）2s时刻杆ab的速度υ大小为2m/s．
（2）加速度a的大小为1m/s²．
（3）从静止开始在2秒内通过金属杆ab横截面的电量q为0.5C．
（4）2s时刻外力F的功率P为1.35W．

点评：本题综合考查了法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿第二定律等，综合性强，对学生能力的要求较高．