题目内容
20．如图，一根水平杆上等距离地穿着n个半径相同的珠子，珠子可以在杆上无摩擦移动，珠子的质量依次为m，km，k2m，k3m…，kk-1m，其中是的取值范围是$\frac{1}{2}$≤k≤2．使第一颗珠子在极短时间内获得初速度v0，之后每当珠子之间发生碰撞时都会粘在一起．
a．分析并说明当k取何值时，碰撞全部结束后系统的总动能最大；k取何值时，碰撞全部结束后系统的总动能最小．
b．求出碰撞结束后系统相应的最小总动能和最大总动能的比值．
分析 a、根据动量守恒定律和能量守恒定律得到质量为m1、初速度为v0的物体与质量为m2的静止物体发生完全非弹性碰撞后系统损失的动能，分析损失的动能与它们质量的关系．运用数学归纳法分析第一次、第二次碰撞后碰撞后系统的总动能，得到k越大，碰撞后系统的总动能越小，从而知道当k=2时，全部碰撞结束后系统的总动能最小；当k=$\frac{1}{2}$时，全部碰撞结束后系统的总动能最大．
b、由上题的结果分析第一次碰撞后、第二次碰撞后系统的总动能，发现规律，得到第n-1次（即最后一次）碰撞系统的总动能．当k=2时最小剩余动能，当 k=$\frac{1}{2}$时最大剩余动能，代入求出最小总动能和最大总动能的比值．
解答 解：质量为m1、初速度为v0的物体与质量为m2的静止物体发生完全非弹性碰撞，根据动量守恒定律得
m1v0=（m1+m2）v
碰撞后系统的总动能 Ek=$\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v}^{2}$=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}$（$\frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$） ①
碰撞中系统损失的动能△Ek=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v}^{2}$=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}$（$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$） ②
a、第一次碰撞后，系统的动能 E1=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}（\frac{1}{1+k}）$，显然k越大，E1越小；
第二次碰撞时，质量为m和km的珠子以共同运动的动能E1与质量为k2m的珠子相碰，碰后系统的动能 E2=E1（$\frac{m+km}{m+km+{k}^{2}m}$）…①
显然k越大，E2越小；
依此类推，可知，k越大，碰撞后系统的总动能越小．
所以当k=2时，全部碰撞结束后系统的总动能最小；当k=$\frac{1}{2}$时，全部碰撞结束后系统的总动能最大；
b、由上知，第一次碰撞后系统的总动能 E1=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}（\frac{1}{1+k}）$
第二次碰撞后系统的总动能 E2=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}（\frac{1}{1+k}）$$（\frac{1+k}{1+k+{k}^{2}}）$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$$（\frac{1}{1+k+{k}^{2}}）$
对第n-1次（即最后一次）碰撞，将m1=m+km+k2m+kn-2 m，m2=kn-1 m，代入①得
En-1=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}（\frac{1}{1+k}）$$（\frac{1+k}{1+k+{k}^{2}}）$$（\frac{1+k+{k}^{2}+…+{k}^{n-2}}{1+k+{k}^{2}+…+{k}^{n-1}}）$
=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$（$\frac{1}{1+k+{k}^{2}+…+{k}^{n-1}}$）=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$（$\frac{1-k}{1-{k}^{n}}$）
所以，当k=2时最小剩余动能为 $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$）
当 k=$\frac{1}{2}$时最大剩余动能为 $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$（$\frac{1}{2-{2}^{1-n}}$）
故最小总动能和最大总动能的比值为 $\frac{2-{2}^{1-n}}{{2}^{n}-1}$．
答：
a、当k=2时，全部碰撞结束后系统的总动能最小；当k=$\frac{1}{2}$时，全部碰撞结束后系统的总动能最大．
b、最小总动能和最大总动能的比值为 $\frac{2-{2}^{1-n}}{{2}^{n}-1}$．
点评 解决本题的关键有两点：一要掌握完全非弹性碰撞的基本规律：动量守恒和能量守恒；二是运用数学归纳法，发现碰撞后系统总动能的规律，写出通项式．
如图所示，在竖直平面内有足够长的两平行金属导轨AB、CD．导轨间距为L，电阻不计．一根电阻不计的金属棒ab可在导轨上无摩擦地滑动．棒与导轨垂直，并接触良好．导轨之间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感强度为B．导轨右边与电路连接．电路中的三个定值电阻阻值分别为2R、R和R．在BD间接有一水平放置的电容为C的平行板电容器，板间距离为d．当ab以速度v0匀速向左运动时，电容器中质量为m的带电微粒恰好静止于两极板中间位置．（ ）| A． | 微粒带负电 | |
| B． | 电容器的带电量为$\frac{CBL{v}_{0}}{2}$ | |
| C． | 若ab棒以速度2v0向左运动，微粒将经过时间$\sqrt{\frac{d}{g}}$到达上极板 | |
| D． | 若ab棒在外力作用下由静止开始在导轨上作简谐运动，运动中的最大速度为v0，则流经2R的最大电流为$\frac{BL{v}_{0}}{3R}$ |
一质点沿x轴做直线运动，其v-t图象如图所示，直线从零时刻原点处，开始沿x轴正向运动，共计运动时间为8s，下列符合运动事实的是（ ）| A． | 质点在运动过程中速度方向不变 | |
| B． | 质点在8s内发生的位移S=3m | |
| C． | 质点在第1s和第4s内的平均速度大小不相等 | |
| D． | 质点在第1s和第4s内的加速度相同 |
如图所示，一根长l=75cm、一端封闭的粗细均匀的玻璃管，管内有一段长h=25cm的水银柱，当玻璃管开口向上竖直放置时，管内水银柱封闭气柱的长度l1=36cm．已知外界大气压强p=75cmHg，管内、外气体的温度不变．如果将玻璃管倒置，使开口竖直向下，问水银柱长度将是多少厘米？
如图所示，有一光滑的半圆形绝缘轨道QPN竖直放置与一水平绝缘轨道MN相切连接，轨道半径R=20cm，MN长x=60cm，在MN的右侧连接一光滑斜面，斜面倾角θ=37°，在轨道上M点左侧存在E=1×103N/C的竖直匀强电场，场强方向向下．一带负电、电荷量q=10-4C的小滑块质量m=20g，与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.5，从斜面上某处静止滑下，（滑块经过M点时无能量损失），取重力加速度g=10m/s2．求：
在xOy平面内，有沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E（图象未画出），由A点斜射出一质量为m、带电量为+q的粒子，B和C是粒子运动轨迹上的两点，如图所示，其中l0为常数，粒子所受重力忽略不计，求：
1824年，法国科学家阿拉果完成了著名的“圆盘实验”．实验中将一铜圆盘水平放置，在其中心正上方用柔软细线悬挂一枚可以自由旋转的磁针，如图所示．实验中发现，当圆盘在磁针的磁场中绕过圆盘中心的竖直轴旋转时，磁针也随着一起转动起来，但略有滞后．下列说法正确的是（ ）| A． | 圆盘上产生了感应电动势 | |
| B． | 圆盘内的涡电流产生的磁场导致磁针转动 | |
| C． | 在圆盘转动的过程中，磁针的磁场穿过整个圆盘的磁通量发生了变化 | |
| D． | 圆盘中的自由电子随圆盘一起运动形成电流，此电流产生的磁场导致磁针转动 |
如图所示，用两根长度相同的绝缘细线把一个质量为0.1kg的小球A悬挂在水平板的M、N两点，A上带有Q=3.0×10-6C的正电荷，两线夹角为120°，两线上的拉力大小分别为F1和F2，A的正下方0.3m处放有一带等量异种电荷的小球B，B与绝缘支架的总质量为0.2kg（重力加速度取g=10m/s2；静电力常量k=9.0×109N•m2/C2，A、B球可视为点电荷），则（ ）| A． | 支架对地面的压力大小为2.0N | |
| B． | 两线上的拉力大小F1=F2=1.9N | |
| C． | 将B水平右移，使M、A、B在同一直线上，此时两线上的拉力大小F1=1.225N，F2=1.0N | |
| D． | 将B移到无穷远处，两线上的拉力大小F1=F2=0.866N |