Question

1．如图所示，一束截面为圆形（半径R）的平行白光垂直射向一玻璃半球的平面，经折射后在屏幕S上形成一个圆形彩色亮区．已知玻璃半球的半径为R，屏幕S至球心的距离为d（d＞3R），不考虑光的干涉和衍射，试问：
①在屏幕S上形成的圆形亮区的最外侧是什么颜色？
②若玻璃半球对最外侧色光的折射率为n，求出圆形亮区的最大半径．

Answer 1

分析 ①当光线从空气垂直射入半圆玻璃砖，光线不发生改变，当入射角小于临界角时，光线才能再从玻璃砖射出，所以平行白光中的折射率不同，导致临界角不同，因此偏折程度不同，从而确定圆形亮区的最外侧的颜色；
②光线沿直线从O点穿过玻璃，方向不变．从A点射出玻璃砖的光线方向向右偏折，射到屏幕S上圆形亮区，作出光路图，由光的折射定律结合数学几何知识求出圆形亮区的最大半径．

解答 解：①在屏幕S上形成的圆形亮区的最外侧是紫色．
因为当平行光从玻璃中射向空气时，由于紫光的折射率的最大，临界角最小，所以首先发生全反射，因此出射光线与屏幕的交点最远．故圆形亮区的最外侧是紫光．
②如图所示，当光在图中A点沿切线方向射出玻璃时，光线射在屏上最外侧C点，在光屏上形成一个以CD为半径的圆形光斑．
设紫光临界角为C，则图中α=C
由全反射的知识：sinC=$\frac{1}{n}$，
得：sinα=$\frac{1}{n}$
所以有：cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\sqrt{1-\frac{1}{{n}^{2}}}$
tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$
由几何知识可得：OB=$\frac{R}{cosα}$=$\frac{nR}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$
BD=d-OB=d-$\frac{nR}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$
CD=$\frac{BD}{tanα}$=$\frac{\sqrt{{n}^{2}-1}d-nR}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$
CD即为圆形亮区的最大半径．
答：①在屏幕S上形成的圆形亮区的最外侧是紫色．
②圆形亮区的最大半径为$\frac{\sqrt{{n}^{2}-1}d-nR}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$．

点评 本题是几何光学问题，关键是作出光路图，理解形成圆形光斑的原因，要掌握全反射的条件，根据几何知识解题．