Question

20．甲乙两名运动员在同一圆轨道上从同一地点同时沿同一绕行方向进行跑步比赛，可认为甲乙都做匀速圆周运动，若甲的周期为T₁，乙的周期为T₂，且T₁＞T₂
（1）至少经过多长时间甲、乙两运动员相距最近；
（2）至少经过多长时间两运动员相距最远．

Answer 1

分析 当两名运动员相遇时，相距最近，结合运动学公式求出相距最近的时间．当两运动员之间的距离为直径时，相距最远．

解答 解：（1）设经过t时间相距最近，
有：$\frac{2π}{{T}_{1}}t+2nπ=\frac{2π}{{T}_{2}}t$，n=1，2，3…
解得t=$\frac{n{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{1}-{T}_{2}}$．（n=1，2，3，…）
当n=1时，t=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{1}-{T}_{2}}$．
（2）设经过t′时间相距最远，
有：$\frac{2π}{{T}_{1}}t′+（2n-1）π=\frac{2π}{{T}_{2}}t′$，
解得$t′=\frac{（2n-1）{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{1}-{T}_{2}）}$，（n=1，2，3…）
当n=1时，$t′=\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{1}-{T}_{2}）}$．
答：（1）至少经过时间为$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{1}-{T}_{2}}$甲、乙两运动员相距最近．
（2）至少经过$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{1}-{T}_{2}）}$，甲乙相距最远．

点评 本题考查了圆周运动的基本运用，知道当两者的路程相差为周长的整数倍时，相距最近，当两者的路程是半个周长的奇数倍时相距最远．