题目内容
【题目】如图所示,一轨道由半径为2 m的四分之一竖直圆弧轨道AB和长度可调的水平直轨道BC在B点平滑连接而成。现有一质量为0.2 kg的小球从A点无初速释放,经过圆弧上B点时,传感器测得轨道所受压力大小为3.6 N,小球经过BC段所受的阻力为其重力的0.2倍,然后从C点水平飞离轨道,落到水平地面上的P点,P、C两点间的高度差为3.2 m。小球运动过程中可视为质点,且不计空气阻力。g取10m/s2
(1)求小球运动至B点时的速度大小;
(2)为使小球落点P与B点的水平距离最大,求BC段的长度;
(3)小球落到P点后弹起,与地面多次碰撞后静止。假设小球每次碰撞机械能损失75%、碰撞前后速度方向与地面的夹角相等,求小球从C点飞出到最后静止所需时间。
【答案】(1)4 m/s(2)3.36m(3)2.4 s
【解析】
(1)小球在B点受到的重力与支持力的合力提供向心力,由此即可求出B点的速度;(2)结合平抛运动的公式,即可求出为使小球落点P与B点的水平距离最大时BC段的长度;(3)由机械能的损失求出速度的损失,然后结合竖直上抛运动的公式求出各段时间,最后求和即可;
(1)小球在B点受到的重力与支持力的合力提供向心力,则:,
代入数据可得:;
(2)由B到C的过程中:,则;
从C点到落地的时间:;
B到P的水平距离,
代入数据,联立并整理可得:
可知当时,P到B的水平距离最大,为L=3.36m;
(3)由于小球每次碰撞机械能损失75%,由,则碰撞后的速度为碰撞前速度的,碰撞前后速度方向与地面的夹角相等,则碰撞后竖直方向的分速度为碰撞前竖直方向分速度的,所以第一次碰撞后上升到最高点的时间等于从C点到落地的时间的,所以从第一次碰撞后到发生第二次碰撞的时间:;
同理,从第二次碰撞后到发生第三次碰撞的时间:;
……
从第n次碰撞后到发生第n+1次碰撞的时间:
小球运动的总时间:
由数学归纳法分可得:t=2.4s