Question

20．如图所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b，跨在两根固定于高度为H的光滑水平细杆A、B上，b球与B点距离为L，质量为4m的a球置于地面上，质量为m的b球从水平位置静止释放．
（1）a球对地面的最小压力为多大？
（2）b球向下摆动的角度θ为多大时重力对b球做功的功率最大
（3）已知细线能承受的最大拉力为F_m，现给b球竖直向下的初速度，当b球运动到B正下方时细线恰被拉断，求b球落地点与B点的距离．

Answer 1

分析 （1）当b球摆到最低点时，拉力最大，a球对地面的压力最小，根据动能定理和牛顿第二定理求出最大拉力，对a球分析，根据平衡求出最小支持力，从而得出最小压力．
（2）根据动能定理求出b球摆到角度θ时的速度，结合瞬时功率的公式求出重力的瞬时功率表达式，根据数学知识得出θ为多大时，功率最大．
（3）根据牛顿第二定律求出小球在最低点的速度，结合平抛运动的时间求出水平位移，根据平行四边形定则求出b球落地点与B点的距离．

解答 解：（1）当b球摆到最低点时，绳子的拉力最大，a球对地面的压力最小．
根据动能定理得，mgL=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得v=$\sqrt{2gL}$，
根据牛顿第二定律得，F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$，解得F=3mg，
对a球分析，根据平衡有F+N=4mg，解得N=mg，
根据牛顿第三定律知，a球对地面的最小压力为mg．
（2）向下摆动的角度为θ时，根据动能定理得，$mgLsinθ=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得v=$\sqrt{2gLsinθ}$，
则重力的瞬时功率P=mgvcosθ=mg$\sqrt{2gLsinθ}$cosθ，
根据数学知识得，当sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，P有最大值，θ=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（3）b球在最低点，根据牛顿第二定律有：${F}_{m}-mg=m\frac{{v}^{2}}{L}$，解得v=$\sqrt{\frac{（{F}_{m}-mg）L}{m}}$，
平抛运动的时间$t=\sqrt{\frac{2（H-L）}{g}}$，
平抛运动的水平位移x=vt=$\sqrt{\frac{2（H-L）（{F}_{m}-mg）L}{mg}}$，
b球落地点与B点的距离s=$\sqrt{{x}^{2}+（H-L）^{2}}$=$\sqrt{\frac{2（H-L）（{F}_{m}-mg）L}{mg}+（H-L）^{2}}$．
答：（1）a球对地面的最小压力为mg；
（2）b球向下摆动的角度θ为arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，重力对b球做功的功率最大；
（3）b球落地点与B点的距离为$\sqrt{\frac{2（H-L）（{F}_{m}-mg）L}{mg}+（H-L）^{2}}$．

点评 本题考查了圆周运动和平抛运动的综合运动员，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．