Question

3．如图所示，有3块水平放置的长薄金属板a、b和c，a、b之间相距为L．紧贴b板下表面竖直放置半径为R的半圆形塑料细管，两管口正好位于小孔M、N处．板a与b、b与c之间接有电压可调的直流电源，板b与c间还存在方向垂直纸面向外的匀强磁场．调节板间电压U_ba和U_bc，当U_ba=U₁、U_bc=U₂时，质量为m、电荷量为q的带负电油滴，以速率v₀从a板上的小孔竖直向下射入，油滴穿过b板M孔进入细管，恰能与细管无接触地从N孔射出．忽略小孔和细管对电场的影响，不计空气阻力．求：
（1）油滴进入M孔时的速度v₁；
（2）b、c两板间的电场强度E和磁感应强度B的值；
（3）当油滴从细管的N孔射出瞬间，将U_ba和B立即调整到U₁′和B′，使油滴恰好不碰到a板，且沿原路与细管无接触地返回并穿过M孔，求U₁′和B′．

Answer 1

分析 （1）油滴开始下落的过程中有重力、电场力做功，根据动能定理求出油滴进入M孔的速度．
（2）油滴进入电场、磁场共存区域，恰与细管无接触地从N孔射出，知电场力等于重力，洛伦兹力提供向心力，根据平衡求出电场强度的大小，根据洛伦兹力提供向心力求出磁感应强度的大小．
（3）若油滴恰不能撞到a板，且再返回并穿过M点速度为零，根据动能定理求出U′_ab的大小，返回到N孔时速度大小不变，现向左偏转做匀速圆周运动，则磁感应强度的大小不变，方向改变．

解答 解：（1）油滴入电场后，重力与电场力均做功，设到M点时的速度为v₁，由动能定理$\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_0^2=mgL+q{U_1}$①
得：${v}_{1}=\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gL+\frac{2q{U}_{1}}{m}}$   ②
（2）油滴进入电场、磁场共存区域，恰与细管无接触地从N孔射出，须电场力与重力平衡，有：mg=qE      ③
得：$E=\frac{mg}{q}$        ④
油滴在半圆形细管中运动时，洛伦兹力提供向心力，$q{v}_{1}B=\frac{m{v}_{1}^{2}}{R}$     ⑤
得$B=\frac{m{v}_{1}}{qR}=\frac{m}{qR}\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gL+\frac{2q{U}_{1}}{m}}$             ⑥
（3）若油滴恰不能撞到a板，且再返回并穿过M点，由动能定理，$0-\frac{1}{2}mv_1^2=-mgL-qU'_{ba}^{\;}$⑧
得：$U{′}_{ba}^{\;}={U}_{1}+\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$⑨
考虑到油滴返回时速度方向已经相反，为了使油滴沿原路与细管无接触地返回并穿过M孔，磁感应强度的大小不变，方向相反，即：
B?=-B⑩
答：（1）油滴进入M孔时的速度$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gL+\frac{2q{U}_{1}}{m}}$．
（2）b、c两板间的电场强度$\frac{mg}{q}$，磁感应强度$\frac{m}{qR}\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gL+\frac{2q{U}_{1}}{m}}$．
（3）U₁′和B′分别为：${U}_{1}+\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$，B?=-B．

点评 本题考查带电粒子在复合场中的运动，关键理清粒子的运动情况，结合牛顿第二定律和动能定理进行求解．