题目内容
近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T1，火星半径为R1．在地球表面附近，摆长为L的单摆做简谐运动的周期为T2，地球半径为R2．则火星的平均密度ρ1与地球的平均密度ρ2之比
为（ ）
| ρ1 |
| ρ2 |
分析：由火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动的周期和火星的半径，依据万有引力提供向心力，可以得到火星的质量，进而可表示火星密度；由地球表面附近单摆的简谐运动可以得到地球重力加速度，再由地面万有引力等于重力可得地球质量，进而可得地球的密度，可知火星与地球的密度之比．
解答：解：设火星质量为M1，地球质量为M2，火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得：
G
=mR1
；
解得：
M1=
；
故火星的密度为：
ρ1=
=
=
；
在地球表面附近，摆长为L的单摆做简谐运动的周期为T2，可知：
T2=2π
；
由黄金代换可得：
GM2=gR22；
由以上两式解得：
M2=
；
故地球密度为：
ρ2=
=
=
；
可知火星的平均密度ρ1与地球的平均密度ρ2之比：
=
=
．
故ABC错误，D正确．
故选：D．
G
| M1m |
| R12 |
| 4π2 |
| T12 |
解得：
M1=
| 4π2R13 |
| GT12 |
故火星的密度为：
ρ1=
| M1 |
| V1 |
| ||
|
| 3π |
| GT12 |
在地球表面附近，摆长为L的单摆做简谐运动的周期为T2，可知：
T2=2π
|
由黄金代换可得：
GM2=gR22；
由以上两式解得：
M2=
| 4π2LR22 |
| GT22 |
故地球密度为：
ρ2=
| M2 |
| V2 |
| ||
|
| 3πL |
| GR2T22 |
可知火星的平均密度ρ1与地球的平均密度ρ2之比：
| ρ1 |
| ρ2 |
| ||
|
| ||
|
故ABC错误，D正确．
故选：D．
点评：首先掌握基本的万有引力提供向心力的各种表达式，并能依据给定的已知量灵活应用；其次要知道单摆的周期表达式，这是本题的重点．
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