Question

9．“大自然每个领域都是美妙绝伦的．”随着现代科技发展，人类不断实现着“上天入地”的梦想，但是“上天容易入地难”，人类对脚下的地球还有许多未解之谜．地球可看作是半径为R的球体．以下在计算万有引力时，地球可看作是质量集中在地心的质点．
（1）已知地球两极的重力加速度为g₁，赤道的重力加速度为g₂，求地球自转的角速度ω；
（2）某次地震后，一位物理学家通过数据分析，发现地球的半径和质量以及两极的重力加速度g₁都没变，但赤道的重力加速度由g₂略微减小为g₃，于是他建议应该略微调整地球同步卫星的轨道半径．请你求出同步卫星调整后的轨道半径r'与原来的轨道半径r之比$\frac{r'}{r}$．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律列出物体在两极和赤道的动力学方程，联立即可求解ω
（2）先求地震前后得角速度之比，再根据万有引力提供向心力求地震前后的同步卫星的轨道半径之比

解答 解：（1）设地球的质量为M，对于质量为m的物体，在两极有：$m{g}_{1}^{\;}=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$…①
在赤道，根据牛顿第二定律有：$\frac{GMm}{R^2}-m{g_2}=mR{ω^2}$…②
联立①②可得：$ω=\sqrt{\frac{{g}_{1}^{\;}-{g}_{2}^{\;}}{R}}$
（2）设地震后地球自转的角速度为ω'，根据牛顿第二定律有：$\frac{GMm}{R^2}-m{g_3}=mR{ω'^2}$…③
设同步卫星的质量为m'，根据牛顿第二定律，
地震前有：$G\frac{Mm′}{{r}_{\;}^{2}}=m′r{ω}_{\;}^{2}$…④
地震后有：$\frac{GMm'}{{{{r'}^2}}}=m'r'{ω'^2}$…⑤
联立①②③④⑤可得：$\frac{r'}{r}=\root{3}{{\frac{{{g_1}-{g_2}}}{{{g_1}-{g_3}}}}}$
答：（1）已知地球两极的重力加速度为g₁，赤道的重力加速度为g₂，地球自转的角速度ω为$\sqrt{\frac{{g}_{1}^{\;}-{g}_{2}^{\;}}{R}}$；
（2）某次地震后，一位物理学家通过数据分析，发现地球的半径和质量以及两极的重力加速度g₁都没变，但赤道的重力加速度由g₂略微减小为g₃，于是他建议应该略微调整地球同步卫星的轨道半径．同步卫星调整后的轨道半径r'与原来的轨道半径r之比$\frac{r'}{r}$为$\sqrt{\frac{{g}_{1}^{\;}-{g}_{2}^{\;}}{R}}$．

点评 解决本题的关键是注意在考虑地球自转的情况下，赤道上的物体万有引力可分解为重力和向心力，物体在两极万有引力等于重力．