题目内容
【题目】如图所示，以O为圆心、半径为R的圆形区域内存在垂直圆面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一粒子源位于圆周上的M点，可向磁场区域内垂直磁场沿各个方向发射质量为m、电荷量为
的粒子，不计粒子重力，N为圆周上另一点，半径OM和ON间的夹角
，且满足
．
若某一粒子以速率v
，沿MO方向射入磁场，恰能从N点离开磁场，求此粒子的速率移v；
若大量此类粒子以速率
，从M点射入磁场，方向任意，则这些粒子在磁场中运动的最长时间为多少？
若由M点射入磁场各个方向的所有粒子速率均为题中计算出的
，求磁场中有粒子通过的区域面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
(1)某一粒子以速率
，沿MO方向射入磁场，恰能从N点离开磁场，由几何关系求得其做匀速圆周运动的半径，由洛伦兹力提供向心力求出入射速度。
(2)某一粒子以速率
从M点射入磁场，粒子在磁场中的半径为
，粒子在磁场中运动时间最长时，弧长（劣弧）最长，对应的弦长最长（磁场圆的直径）。
(3)若由M点射入磁场各个方向的所有粒子速率均为，这些粒子在磁场中有相同的半径
，则圆心轨迹是以M为圆心、半径为的圆。试着画出极端情况下粒子能达到的区域，从而把粒子能到达的整个区域面积求出来。
(1) 粒子以速率
沿MO方向射入磁场，恰能从N点离开磁场，轨迹如图：
设轨迹半径为
，则
，解得：
由牛顿第二定律可得
，解得：
(2) 大量此类粒子以速率
从M点射入磁场
由牛顿第二定律可得
，解得：
粒子方向任意，粒子在磁场中运动时间最长时，弧长（劣弧）最长，对应的弦长最长（磁场圆的直径），轨迹如图：
则
，解得：
粒子在磁场中运动的最长时间
(3)粒子沿各个方向以
进入磁场做匀速圆周时的轨迹半径都为，且不变。由图可知，粒子在磁场中通过的面积S等于以O3为圆心的半圆形MO3O的面积S1、以M为圆心的扇形MOQ的面积S2和以O点为圆心的圆弧MQ与直线MQ围成的面积S3之和。
、
、
所以
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