Question

20．在如图所示空间直角坐标系Oxyz中，空间分布着沿z轴正方向的匀强磁场（z轴正方向垂直纸面向 里）．x=0为磁场分界面，在x＞0的区域内，磁感应强度大小为B₁，在x＜0的区域内磁感应强度大小为B₂，且B₁=3B₀、B₂=4B₀．在t=0时刻，处于坐标原点的一个质量为m的静止中性粒子分裂为两个带电粒子a和b，a、b质量之比m_a：m_b=17：7．已知中性粒子分裂后瞬间，粒子a的速度为v_a，且沿x轴正方向，粒子a带电量为+q． 设整个磁场区域都处于真空中，且不考虑粒子重力及分裂后a、b两粒子的相互作用力．求：
（1）分裂后瞬间b的速度大小．
（2）分裂后，粒子a、b在B₁区域内运动的半径之比和周期之比．
（3）粒子a、b从分裂到相遇于分界面所经历的时间是多少？并求出相遇处的y坐标（结果中的磁感应强度用B₀表示）．

Answer 1

分析 （1）分裂前后动量守恒，根据动量守恒就能求出粒子b的速度大小，方向与a方向相反．
（2）分裂后的两个粒子分别在B₁和B₂中做匀速圆周运动，由洛仑兹力提供向心力就能求出半径，加上题设已知条件就能求出半径之比和周期之比．
（3）作a、b分裂后在磁场中运动的轨迹示意图，经分析，b经历整数个周期加半个周期，a经历整数个周期，二者才可能相遇于分界面．

解答 解：（1）由m_a：m_b=17：7    得${m}_{a}=\frac{17}{24}m$，${m}_{b}=\frac{7}{24}m$  
中性粒子分裂，动量守恒m_av_a=m_bv_b    
所以v_b=$\frac{17}{7}{v}_{a}$   
（2）中性粒子分裂，因粒子a带电量为+q，故粒子b带电量为-q．粒子a在B₁区  域的轨道半径为r_a1，周期为T_a1；在B₂区域的轨道半径为r_a2，周期为T_a2，粒子b在B₁、B₂区域的轨道半径及周期分别为r_b1、r_b2、T_b1、T_b2．
由洛伦兹力提供向心力，有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$    
得：$r=\frac{mv}{qB}$   
解得：${r}_{a1}=\frac{{m}_{a}{v}_{a}}{{q}_{b}{B}_{1}}=\frac{{m}_{b}{v}_{b}}{3q{B}_{0}}$，${r}_{a2}=\frac{{m}_{a}{v}_{a}}{{q}_{a}{B}_{2}}=\frac{{m}_{a}{v}_{a}}{4q{B}_{0}}$
同理：${r}_{b1}=\frac{{m}_{b}{v}_{b}}{{q}_{b}{B}_{1}}=\frac{{m}_{b}{v}_{b}}{3q{B}_{0}}$，${r}_{b2}=\frac{{m}_{b}{v}_{b}}{{q}_{b}{B}_{2}}=\frac{{m}_{b}{v}_{b}}{4q{B}_{0}}$
解得：r_a1：r_b1=1：1    
根据T=$\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$得：
${T}_{a1}=\frac{2π{m}_{a}}{{q}_{a}{B}_{1}}$=$\frac{17πm}{36q{B}_{0}}$
${T}_{a2}=\frac{2π{m}_{a}}{{q}_{a}{B}_{2}}=\frac{17πm}{48q{B}_{0}}$
${T}_{b1}=\frac{2π{m}_{b}}{{q}_{b}{B}_{1}}=\frac{7πm}{36q{B}_{0}}$
${T}_{b2}=\frac{2π{m}_{b}}{{q}_{b}{B}_{2}}=\frac{7πm}{47q{B}_{0}}$
解得：T_a1：T_b1=17：7   
（3）作a、b分裂后在磁场中运动的轨迹示意图，经分析，b经历整数个周期加半个周期，a经历整数个周期，二者才可能相遇于分界面．a、b从分裂到相遇，沿y反向的位移为△y_a，△y_b
△y_a=k×2（r_a1-r_a2） （k=1，2，3，…）  
△y_b=2r_b2-n×2（r_b1-r_b2）  （n=1，2，3，…）  
若相遇△y_a=△y_b    
即k+n=3…①
若相遇，还需满足，t_a=t_b    
t_a=$k（\frac{{T}_{a1}}{2}+\frac{{T}_{a2}}{2}）$    
t_b=$\frac{{T}_{b2}}{2}+n×（\frac{{T}_{b1}}{2}+\frac{{T}_{b2}}{2}）$   
即17k=3+7n…②
联立①，②两式求得k=1，n=2
代入得△y_a=△y_b=$\frac{17m{v}_{a}}{144q{B}_{0}}$   
t_a=t_b=$\frac{119πm}{288q{B}_{0}}$     
 经分析可得，a、b相遇于△y_a=$\frac{17m{v}_{a}}{144q{B}_{0}}$前，在轨迹相交点c、d、e、f不会相撞．
 所以a、b在△y_a=$\frac{119πm}{288q{B}_{0}}$时相遇，相遇点的y坐标为$\frac{17m{v}_{a}}{144q{B}_{0}}$
答：（1）分裂后瞬间b的速度大小为$\frac{17}{7}{v}_{a}$．
（2）分裂后，粒子a、b在B₁区域内运动的半径之比为1：1．周期之比为17：7．
（3）粒子a、b从分裂到相遇于分界面所经历的时间是$\frac{119πm}{288q{B}_{0}}$，相遇处的y坐标是$\frac{17m{v}_{a}}{144q{B}_{0}}$．

点评 本题的难点在于：粒子一分为二之后，各自在两个磁场区域内做匀速圆周运动，要使它们相遇，必须满足时间相等及沿y反方向移的距离相等两个条件，列出相应的式子，就能表示出相遇的时间和位置坐标．