题目内容

如图所示,一不可伸长的轻质细绳,绳长为L一端固定于O点,另一端系一质量为m的小球,小球绕O点在竖直平面内做圆周运动(不计空气助力),小球通过最低点时的速度为v.
(1)求小球通过最低点时,绳对小球拉力F的大小;
(2)若小球运动到最低点或最高点时,绳突然断开,两种情况下小球从抛出到落地水平位移大小相等,求O点距地面的高度h;
(3)在(2)中所述情况下试证明O点距离地面高度h与绳长l之间应满足
h
32
l
分析:(1)小球通过最低点时,绳对小球拉力F和重力的合力提供向心力,由牛顿第二定律求拉力F;
(2)若小球运动到圆心最低点时,绳突然断开,小球落地前将做平抛运动,根据机械能守恒定律求落地时小球速度.
(3)小球运动到最高点时向心力最小值为mg,根据牛顿第二定律求得小球到达最高点的最小速度,从最高点到最低点,运用机械能守恒列式即可证明.
解答:解:(1)根据向心力公式 F-mg=m
v2
L
 有:F=mg+m
v2
L

(2)小球运动到最低点,绳突然断开后小球做平抛运动时间为t,
则 h-L=
1
2
gt2

   x=vt
设运动到最高点速度为v′,由机械能守恒得:
  2mgL+
1
2
mv2
=
1
2
mv2

小球运动到最高点绳断开后小球做平抛运动时间为t′,
则 h+L=
1
2
gt2

  x′=v′t′
又 x=x′
联立上述各式解得:h=
v2
2g
-L
(3)小球运动到最高点时向心力最小值为mg,则有:mg≤m
v2
L

所以 v′≥
gL

那么由机械能守恒定律:
 2mgL+
1
2
mv2
=
1
2
mv2

小球运动到最低点时速度有 v≥
5gL

故由(2)问结果 h=
v2
2g
-L≥
5gL
2g
-L=
3
2
L,即h≥
3
2
L
.得证.
答:(1)小球通过最低点时,绳对小球拉力F的大小为mg+m
v2
L
;(2)O点距地面的高度h为
v2
2g
-L;(3)证明O点距离地面高度h与绳长l之间应满足h≥
3
2
L
见上.
点评:本题是圆周运动与平抛运动的综合,运用牛顿运动定律和机械能守恒结合进行研究,对于平抛运动,也可以运用分解的方法求小球落地速度.
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