Question

11．如图所示，金属棒AB的质量m₁=4.0×10^-3kg，放置在宽L₁=1.0m的光滑金属导轨临近边缘处，两金属导轨处于水平平面内，空间有竖直方向上的磁感应强度B=0.5T的匀强磁场，电容器的电容C，电源的电动势E，导轨平面距水平地面的高度h=0.8m，地面上距离导轨末端水平距离d₁=0.6m有一个宽度也是d₂=0.6m的一个深沟，在开关S与“1”接通并稳定后，再使它与“2”接通，则金属棒ab适当加速后运动到轨道末端刚好与用不可伸长的轻质软绳悬挂的金属棒MN发生弹性碰撞，碰撞前后两个金属棒的速度均为水平方向，已知金属棒MN的质量m₂=1.0×10^-3kg，轻质软绳长度为L₂=0.4m，碰后金属棒AB做平抛运动，若悬挂金属棒MN的轻质软绳始终不松弛，并且保证金属棒AB落入深沟中．不计一切阻力，重力加速度g=10m/s²（电容C，电动势E未知，计算结果保留两位有效数字）
（1）判断匀强磁场的方向．（不需要写出理由）
（2）试求电容器减少的电荷量．

Answer 1

分析 （1）根据左手定则判断磁场的方向．
（2）对电容器通过AB棒放电的过程，运用动量定理列式．AB棒和MN棒发生弹性碰撞，根据动量守恒定律和动能守恒列式．若悬挂MN棒的软绳不松弛，有两种情况：MN棒摆动的最大高度不大于L₂．第二种情况，MN棒能在竖直面内做圆周运动并能通过最高点．结合临界条件和平抛运动的规律求解．

解答 解：（1）开关接在2时，通过AB棒的电流从A到B，AB棒所受的安培力向右，由左手定则判断可知磁场方向竖直向下
（2）开关接在2时，对AB棒，由动量定理有：
$B\overline I{L_1}△t={m_1}v$，$q=\overline I△t$
AB棒和MN棒发生弹性碰撞，设碰后AB棒的速度为v₁，MN棒的速度为v₂，取向右为正方向，则由动量守恒定律和动能守恒得：
m₁v=m₁v₁+m₂v₂
$\frac{1}{2}{m_1}{v^2}=\frac{1}{2}{m_1}v_1^2+\frac{1}{2}{m_2}v_2^2$
若悬挂MN棒的软绳不松弛，有两种情况：
第一种情况：MN棒摆动的最大高度为h₁：
由动能定理得：$-{m_2}g{h_1}=0-\frac{1}{2}{m_2}v_2^2$，h₁≤L₂
解得：${v_2}≤2\sqrt{2}m/s$
第二种情况，MN棒能在竖直面内做圆周运动并能通过最高点，设其通过最高点的速度为v_x，软绳的拉力为F₀，则有：
 ${F_0}+{m_2}g={m_2}\frac{v_x^2}{L_2}$，且F₀≥0
由动能定理得 $-{m_2}g（2{L_2}）=\frac{1}{2}{m_2}v_x^2-\frac{1}{2}{m_2}v_2^2$，解得 ${v_2}≥2\sqrt{5}m/s$
保证AB棒平抛后掉入深沟里，则：
  $h=\frac{1}{2}g{t^2}$，x=v₁t
由几何关系有 d₁≤x≤d₁+d₂
解得 1.5m/s≤v₁≤3.0m/s
联立③④当${v_2}≤2\sqrt{2}m/s$时，${v_1}≤\frac{{3\sqrt{2}}}{4}m/s≈1.06m/s＜1.5m/s$，故MN棒的第一种情况不成立，舍去．
联立③④当${v_2}≥2\sqrt{5}m/s$时，${v_1}≥\frac{{3\sqrt{5}}}{4}m/s≈1.67m/s＞1.5m/s$，故MN棒的第二种情况成立．
综上所述：$\frac{{3\sqrt{5}}}{4}m/s≤{v_1}≤3.0m/s$，故$\frac{{5\sqrt{5}}}{4}m/s≤v≤5.0m/s$
再由①②解得 2.2×10^-2C≤q≤4.0×10^-2C．
答：
（1）磁场方向竖直向下．
（2）电容器减少的电荷量范围为：2.2×10^-2C≤q≤4.0×10^-2C．

点评 本题中电容器通过金属棒放电过程，往往运用动量定理求电荷量．要分析清楚两棒的运动过程，把握隐含的临界条件，注意不能漏解．