Question

1．如图所示，ab、cd为间距d=1m的光滑倾斜金属导轨，与水平面的夹角θ=37°，导轨电阻不计，a、c间连接电阻R=2.4Ω．空间存在磁感应强度B₀=2T的匀强磁场，方向垂直于导轨平面向上．将一根金属棒放置在导轨上距ac为x₀=0.5m处，其质量m=0.5kg，电阻r=0.8Ω．现将金属棒由静止释放，金属棒沿导轨向下运动过程中始终与ac平行且与导轨接触良好．已知当金属棒从初始位置向下滑行x=1.6m到达MN处时已经达到稳定速度，金属导轨足够长，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．求：
（1）金属棒从释放到运动至MN处的过程中，电阻R上产生的焦耳热；
（2）若将释放金属棒的时刻记作t=0，为使闭合回路中不产生感应电流，试写出磁感应强度B随时间t变化的表达式．

Answer 1

分析 （1）当金属棒受到的安培力与重力沿斜面的分力相等时，导体棒受到的合力为零，导体棒做匀速直线运动，速度最大，达到稳定状态，由安培力公式及平衡条件即可求出棒下滑的最大速度．
（2）由能量守恒定律求解电阻R上产生的焦耳热．
（3）为使金属棒中不产生感应电流，回路中磁通量应不变，据此列式求解．

解答 解：（1）由法拉第电磁感应定律，得：E=B₀dv，
由闭合电路欧姆定律，得：I=$\frac{E}{R+r}$，
整个运动过程，根据牛顿第二定律得：mgsinθ-B₀Id=ma，
当棒运动的加速度为零时速度最大，可解得：v_m=$\frac{mg（R+r）sinθ}{{B}_{0}^{2}{d}^{2}}$=$\frac{0.5×10×（2.4+0.8）×0.6}{{2}^{2}×{1}^{2}}$=2.4m/s，
从棒由静止释放到达到最大速度的过程中，由能量守恒定律得：mgxsinθ=$\frac{1}{2}mv_m^2$+Q，
电阻R上产生的焦耳热为：Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q，
联立解得：Q_R=2.52J；
（2）当回路中的总磁通量不变时，棒中不产生感应电流，沿导轨做匀加速运动．则有：B₀dx₀=Bl（x₀+$\frac{1}{2}a′{t^2}$）
由牛顿第二定律得：mgsinθ=ma′，
联立解得：B=$\frac{2}{1+6{t}^{2}}$T
答：（1）金属棒从释放到运动至MN处的过程中，电阻R上产生的焦耳热为2.52J；
（2）磁感应强度B随时间t变化的表达式为B=$\frac{2}{1+6{t}^{2}}$T．

点评 对金属棒正确受力分析、分析清楚金属棒的运动过程、应用安培力公式、平衡条件等，即可正确解题．要明确产生感应电流的条件：闭合电路的磁通量变化．