题目内容

20．如图所示为某钢铁厂的钢锭传送装置，斜坡长为L=20m，高为h=2m，斜坡上紧排着一排滚筒．长为l=8m、质量为m=1×103kg的钢锭ab放在滚筒上，钢锭与滚筒间的动摩擦因数为μ=0.3，工作时由电动机带动所有滚筒顺时针匀速转动，使钢锭沿斜坡向上移动，滚筒边缘的线速度均为v=4m/s．假设关闭电动机的瞬时所有滚筒立即停止转动，钢锭对滚筒的总压力的大小近似等于钢锭的重力．取当地的重力加速度g=10m/s2．试求：
（1）钢锭从坡底（如图所示位置）由静止开始运动，直到b端到达坡顶所需的最短时间．
（2）钢锭从坡底（如图所示位置）由静止开始运动，直到b端到达坡顶的过程中电动机至少要工作多长时间？

分析 （1）欲使b端到达坡顶所需要的时间最短，需要电动机一直工作，则钢轨先做匀加速直线运动，当它的速度等于滚筒边缘的线速度后，做匀速直线运动．
（2）欲使电动机工作的时间最短，钢轨的最后一段运动要关闭电动机，钢轨匀减速上升，即钢轨先加速后匀速，最后减速；故电机工作时间等于除去减速外钢轨的运动时间．

解答 解：（1）钢锭开始受到的滑动摩擦力为：f1=μmg=3×103N，
设斜坡与水平面的夹角为α，由牛顿第二定律有：Ff-mgsinα=ma1，
代入数据解得：${a_1}=2m/{s^2}$，
钢锭做匀加速运动的时间：${t_1}=\frac{v}{a}=2s$，位移：${x_1}=\frac{1}{2}{a_1}t_1^2=4m$，
要使b端到达坡顶所需要的时间最短，需要电动机一直工作，钢锭先做匀加速直线运动，
当它的速度等于滚筒边缘的线速度后，做匀速直线运动．钢锭做匀速直线运动的位移：
x2=L-l-x1=8m，做匀速直线运动的时间：${t_2}=\frac{x_2}{v}=2s$，
所需最短时间 t=t1+t2=4s；
（2）要使电动机工作时间最短，钢锭的最后一段运动要关闭电动机，
钢锭匀减速上升，b端到达坡顶时速度刚好为零．
匀减速上升时，由牛顿第二定律得：Ff+mgsinα=ma2，
代入数据解得：${a_2}=4m/{s^2}$，
匀减速运动时间：${t_3}=\frac{v}{a_2}=1s$，
匀减速运动位移：${x_3}=\frac{v}{2}{t_3}=2m$，
匀速运动的位移：x4=L-l-x1-x3=6m，
电动机至少要工作的时间：$t={t_1}+\frac{x_4}{v}=3.5s$；
答：（1）钢锭从坡底（如图所示位置）由静止开始运动，直到b端到达坡顶所需的最短时间是4s．
（2）钢锭从坡底（如图所示位置）由静止开始运动，直到b端到达坡顶的过程中电动机至少要工作3.5s．

点评 本题关键是明确钢轨的运动规律，然后分阶段根据牛顿第二定律求解加速度，再根据运动学公式列式求解．

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