Question

14．图甲为一研究电磁感应的实验装置示意图，其中电流感应器（相当于一只理想的电流表）能将各时刻的电流数据实时通过数据采集器传输给计算机，经计算机处理后在屏幕上同步显示出I-t图象，足够长光滑金属轨道电阻不计，宽度为L=0.2m，倾角为θ=30°，轨道上端连接的定值电阻的阻值为R=0.9Ω，金属杆MN的电阻为r=0.1Ω，质量为m=1kg．在轨道区域加一垂直于轨道平面向下、磁感应强度为B=0.5T的匀强磁场，让金属杆在轨道平面向下、大小随时间变化的拉力F作用下由静止开始下滑，计算机显示出如图乙所示的I-t图象（I₀=0.2A，t₀=1s）．设杆在整个运动过程中与轨道垂直．
（1）试推导出金属杆的速度v随时间t变化的关系式；
（2）试推导出拉力F随时间t变化的关系式；
（3）金属杆从静止开始下滑2s时间，在定值电阻所产生的焦耳热为Q=90J，则拉力做的功W为多少？

Answer 1

分析 （1）由图乙得电流强度随时间变化关系，根据E=BLv、闭合电路的欧姆定律联立求解；
（2）根据v=at得到加速度大小，由牛顿第二定律求解拉力F随时间t变化的关系式；
（3）求出金属杆从静止开始下滑的位移，根据速度时间关系求解速度，根据焦耳定律求解产生的焦耳热，根据动能定理求解所以整个过程中克服安培力做的功．

解答 解：（1）由图乙得：I=$\frac{{I}_{0}}{{t}_{0}}t=\frac{0.2}{1}t=0.2t$，
由导体棒切割磁感应线产生的感应电动势计算公式可得：E=BLv，
根据闭合电路的欧姆定律可得：I=$\frac{E}{R+r}=\frac{BLv}{R+r}$，
解得：v=2t （m/s）；
（2）由上知棒做匀加速直线运动，加速度大小为 a=2m/s²，
安培力大小：F_安=BIL=0.02t，
取沿斜面向下为正，由牛顿第二定律得：F+mgsinθ-F_安=ma
可得拉力F=0.02t-3 （N）；
（3）金属杆从静止开始下滑t=2s时间内通过的位移为 x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=4m$，
2s时刻的速度 v=a•t=4m/s，
根据串联电路的规律知棒产生的热量$\frac{r}{R}Q=\frac{0.1}{0.9}×90J=10J$，
所以整个过程中克服安培力做的功为W_A=90J+10J=100J；
根据动能定理得：mgsinθ•x+W-W_A=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0，
解得W=$\frac{1}{2}×1×{4}^{2}J+100J-10×\frac{1}{2}×4J=140J$．
答：（1）金属杆的速度v随时间t变化的关系式为v=2t （m/s）；
（2）拉力F随时间t变化的关系式为F=0.02t-3 （N）；
（3）金属杆从静止开始下滑2s时间，在定值电阻所产生的焦耳热为Q=90J，则拉力做的功W为140J．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．