题目内容
如图甲所示，空间Ⅰ区域存在方向垂直纸面向里的有界匀强磁场，左右边界线MN与PQ相互平行，MN右侧空间Ⅱ区域存在一周期性变化的匀强电场，方向沿纸面垂直MN边界，电场强度的变化规律如图乙所示（规定向左为电场的正方向）．一质量为m、电荷量为+q的粒子，在t=0时刻从电场中A点由静止开始运动，粒子重力不计．
（1）若场强大小E1=E2=E，A点到MN的距离为L，为使粒子进入磁场时速度最大，交变电场变化周期的最小值T0应为多少？粒子的最大速度v0为多大？
（2）设磁场宽度为d，改变磁感应强度B的大小，使粒子以速度v1进入磁场后都能从磁场左边界PQ穿出，求磁感应强度B满足的条件及该粒子穿过磁场时间t的范围．
（3）若电场的场强大小E1=2E0，E2=E0，电场变化周期为T，t=0时刻从电场中A点释放的粒子经过n个周期正好到达MN边界，假定磁场足够宽，粒子经过磁场偏转后又回到电场中，向右运动的最大距离和A点到MN的距离相等．求粒子到达MN时的速度大小v和匀强磁场的磁感应强度大小B．
（1）若场强大小E1=E2=E，A点到MN的距离为L，为使粒子进入磁场时速度最大，交变电场变化周期的最小值T0应为多少？粒子的最大速度v0为多大？
（2）设磁场宽度为d，改变磁感应强度B的大小，使粒子以速度v1进入磁场后都能从磁场左边界PQ穿出，求磁感应强度B满足的条件及该粒子穿过磁场时间t的范围．
（3）若电场的场强大小E1=2E0，E2=E0，电场变化周期为T，t=0时刻从电场中A点释放的粒子经过n个周期正好到达MN边界，假定磁场足够宽，粒子经过磁场偏转后又回到电场中，向右运动的最大距离和A点到MN的距离相等．求粒子到达MN时的速度大小v和匀强磁场的磁感应强度大小B．
分析：（1）当粒子在电场中一直做加速运动，进入磁场时速度最大，加速的时间为
T0，由牛顿第二定律和运动学公式结合求出A到MN的距离L，根据动能定理求最大速度．
（2）粒子射入磁场中做匀速圆周运动，当粒子轨迹半径大于磁场的宽度d时，都能从磁场左边界PQ穿出，由牛顿第二定律求B应满足的条件．根据几何关系，粒子在磁场中通过的弧长s应满足的条件是d＜s＜
，由圆周运动的规律求时间t的范围．
（3）若电场的场强大小E1=2E0，E2=E0，电场变化周期为T，在一个周期粒子的加速度周期性变化，根据牛顿第二定律求前、后两个半周内的加速度，得到在一个周期内速度的增量△v，经过n个周期到达MN时速度为v=n△v．粒子在磁场中运动的时间为t′=
．粒子在向右运动的最大距离和A点到MN的距离相等，说明粒子返回电场减速运动正好是前面加速的逆过程，根据对称性可知，在磁场中运动时间t′应满足t′=（2k+1）
（k=0、1、2、3…），联立即可求出B．
| 1 |
| 2 |
（2）粒子射入磁场中做匀速圆周运动，当粒子轨迹半径大于磁场的宽度d时，都能从磁场左边界PQ穿出，由牛顿第二定律求B应满足的条件．根据几何关系，粒子在磁场中通过的弧长s应满足的条件是d＜s＜
| πd |
| 2 |
（3）若电场的场强大小E1=2E0，E2=E0，电场变化周期为T，在一个周期粒子的加速度周期性变化，根据牛顿第二定律求前、后两个半周内的加速度，得到在一个周期内速度的增量△v，经过n个周期到达MN时速度为v=n△v．粒子在磁场中运动的时间为t′=
| T |
| 2 |
| T |
| 2 |
解答：解：（1）当粒子在电场中一直做加速运动，进入磁场时速度最大，设加速时间为t，则L=
t2
T0=2t
解得 T0=2
由动能定理有 qEL=
m
解得 v0=
（2）设粒子在磁场运动的轨道半径为r，则有
qv1B=
r＞d
解得 B＜
根据几何关系，粒子在磁场中通过的弧长s应满足的条件是
d＜s＜
粒子穿过磁场时间 t=
解得
＜t＜
（3）粒子在电场变化的前半周期内加速度大小 a1=
后半周期内加速度大小 a2=
在一个周期内速度的增量△v=a1
-a2
经过n个周期到达MN时 v=n△v
解得 v=
粒子在磁场中运动的周期 T=
粒子在磁场中运动的时间 t′=
粒子在向右运动的最大距离和A点到MN的距离相等，说明粒子返回电场减速运动正好是前面加速的逆过程，根据对称性可知，在磁场中运动时间t′应满足
t′=（2k+1）
（k=0、1、2、3…）
解得 B=
（k=0、1、2、3…）
答：
（1）交变电场变化周期的最小值T0应为2
，粒子的最大速度v0为
．
（2）磁感应强度B满足的条件是B＜
，该粒子穿过磁场时间t的范围为
＜t＜
．
（3）粒子到达MN时的速度大小v为
，匀强磁场的磁感应强度大小B为
（k=0、1、2、3…）．
| qE |
| 2m |
T0=2t
解得 T0=2
|
由动能定理有 qEL=
| 1 |
| 2 |
| v | 2 0 |
解得 v0=
|
（2）设粒子在磁场运动的轨道半径为r，则有
qv1B=
m
| ||
| r |
r＞d
解得 B＜
| mv1 |
| qd |
根据几何关系，粒子在磁场中通过的弧长s应满足的条件是
d＜s＜
| πd |
| 2 |
粒子穿过磁场时间 t=
| s |
| v1 |
解得
| d |
| v1 |
| πd |
| 2v1 |
（3）粒子在电场变化的前半周期内加速度大小 a1=
| 2qE0 |
| m |
后半周期内加速度大小 a2=
| qE0 |
| m |
在一个周期内速度的增量△v=a1
| T |
| 2 |
| T |
| 2 |
经过n个周期到达MN时 v=n△v
解得 v=
| nqE0T |
| 2m |
粒子在磁场中运动的周期 T=
| 2πm |
| qB |
粒子在磁场中运动的时间 t′=
| T |
| 2 |
粒子在向右运动的最大距离和A点到MN的距离相等，说明粒子返回电场减速运动正好是前面加速的逆过程，根据对称性可知，在磁场中运动时间t′应满足
t′=（2k+1）
| T |
| 2 |
解得 B=
| 2πm |
| (2k+1)qT |
答：
（1）交变电场变化周期的最小值T0应为2
|
|
（2）磁感应强度B满足的条件是B＜
| mv1 |
| qd |
| d |
| v1 |
| πd |
| 2v1 |
（3）粒子到达MN时的速度大小v为
| nqE0T |
| 2m |
| 2πm |
| (2k+1)qT |
点评：本题是复合场中临界条件问题，关键要分析临界条件，对于周期性变化的电场，运用归纳法，分析速度变化量是关键，并抓住对称性求时间．
练习册系列答案
期末金牌卷系列答案
轻松课堂标准练系列答案
相关题目
d、a两点间的电势差Uda随时间t变化的图线。其中E0 = BLv 。
