Question

19．如图所示，将一质量为m=0.1kg的小球自水平平台右端O点以初速度v．水平抛出，小球飞离平台后由A点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC，并沿轨道恰好通过最高点C，圆轨道ABC的形状为半径R=2.5m的圆截去了左上角l27°的圆弧，CB为其竖直直径，（sin53°=0.8  cos53°=0.6，重力加速度g取10m/s²）求：
（1）小球经过C点的速度大小；
（2）小球运动到轨道最低点B时小球对轨道的压力大小；
（3）平台末端O点到A点的竖直高度H．

Answer 1

分析 （1）小球恰好通过最高点C，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求解小球经过C点的速度大小．
（2）从B点到C点，由机械能守恒定律求解B点速度．由牛顿第二定律、第三定律求得小球对轨道的压力大小．
（3）从A到B由机械能守恒定律求出A点速度，在A点进行速度的分解，根据平抛运动规律求出末端O点到A点的竖直高度H．

解答 解：（1）恰好运动到C点，有重力提供向心力，即 $mg=m\frac{v^2}{R}$
得 ${v_c}=\sqrt{gR}=5m/s$
（2）从B点到C点，由机械能守恒定律有
  $\frac{1}{2}m{v_c}^2+2mgR=\frac{1}{2}m{v_B}^2$
在B点对小球进行受力分析，由牛顿第二定律有 F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
联立得 F_N=6mg=6.0N
根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小为6.0N
（3）从A到B由机械能守恒定律有
 $\frac{1}{2}$mv_A²+mgR（1-cos53°）=$\frac{1}{2}$mv_B²
所以：${v_A}=\sqrt{105}m/s$
在A点进行速度的分解有：v_y=v_Asin53°
所以：$H=\frac{{{v_y}^2}}{2g}=3.36m$
答：
（1）小球经过C点的速度大小是5m/s；
（2）小球运动到轨道最低点B时小球对轨道的压力大小是6N；
（3）平台末端O点到A点的竖直高度是3.36m．

点评 本题是平抛运动和圆周运动相结合的典型题目，除了运用平抛运动和圆周运动的基本公式外，求速度的问题，机械能守恒定律或动能定理不失为一种好的方法．