题目内容
如图所示，在xoy平面内的第一象限有一以PQ为边界、沿y轴负向的匀强电场E，在第四象限有垂直于xoy平面的匀强磁场B．某时有质量和电荷量均为m、q的正粒子a、b同时从P点以垂直于y轴的速度进入电场，速度大小分别为v0、2v0，b粒子从Q点进入磁场． P、Q的坐标分别是（0，l）、（2l，0）．不计重力，不考虑粒子间的相互作用和可能发生的碰撞．（1）求电场强度E的大小
（2）调节磁感应强度B使粒子b首次在磁场中运动的时间跟在电场中运动的时间相等，设这一时间为TO，求TO及对应的磁感应强度B
（3）在保持上述磁感应强度不变的情况下，求当a、b中的一个粒子第二次到达x轴时另一粒子的y坐标，最终表达式的系数保留一位小数即可（半角公式cos
| a |
| 2 |
|
分析：（1）根据b粒子在电场中做类平抛运动，由已知PQ点坐标，即知水平竖直方向的位移，根据平抛运动规律即可求解；
（2）首次在磁场中运动的时间跟在电场中运动的时间相等，利用在电场中的类平抛运动即可求解，进入磁场做匀速圆周运动，画出轨迹，找出圆心角，根据洛伦兹力提供向心力即可求出B；
（3）利用类平抛运动的推论速度偏转角的正切值是位移偏转角正切值的2倍，即tanθ=2tanα即可求出a粒子在电场中的运动时间，出电场后未进入磁场做匀速直线运动，也可求出其时间，比较两时间可知，b粒子比a粒子早进入磁场，从而便知谁先第二次达到x轴，利用几何关系即可求出坐标．
（2）首次在磁场中运动的时间跟在电场中运动的时间相等，利用在电场中的类平抛运动即可求解，进入磁场做匀速圆周运动，画出轨迹，找出圆心角，根据洛伦兹力提供向心力即可求出B；
（3）利用类平抛运动的推论速度偏转角的正切值是位移偏转角正切值的2倍，即tanθ=2tanα即可求出a粒子在电场中的运动时间，出电场后未进入磁场做匀速直线运动，也可求出其时间，比较两时间可知，b粒子比a粒子早进入磁场，从而便知谁先第二次达到x轴，利用几何关系即可求出坐标．
解答：
解：（1）以b为对象可知，由题意可得：
水平方向：x=2v0t ①
竖直方向：y=
t2 ②
由 x=2l y=l，①②联立得：E=
（2）由题意得 T0=t ③
①③联立得：T0=
③
粒子b进入磁场时与x轴夹角为θ，PQ与x轴的夹角为α，则tanθ=2tanα=
=1
即θ=450，运动轨迹为
圆周，设圆周运动周期为T，则T=4T0 ④
由洛伦兹力提供向心力得：Bqv=m
T=
得T=
⑤
③④⑤联立得：B=
（3）由（2）b粒子离开电场时速度方向与x轴夹角θ为450
由tan45°=
=
可得
a粒子在电场中运动时间：ta1=
=
=
a粒子离开电场运动到x轴的时间：ta2=
a粒子从P点运动到x轴的时间：ta=ta1+ta2=
=
T0
故：a粒子比b粒子晚进入磁场的时间：△t=
T0
b粒子离开磁场到达x轴时，a在磁场中运动了
T0，即到达图中的R点
a进入磁场的速度va=
v0（1分）
由qvB=m
得：（1分）
ra=
=
R的y坐标为：y=ra（cos45°-cos22.50）=-0.2l（1分）
答：（1）电场强度E的大小为E=
（2）调节磁感应强度B使粒子b首次在磁场中运动的时间跟在电场中运动的时间相等，TO为T0=
对应的磁感应强度B=
（3）在保持上述磁感应强度不变的情况下，当a、b中的一个粒子第二次到达x轴时另一粒子的y坐标为-0.2l．
解：（1）以b为对象可知，由题意可得：水平方向：x=2v0t ①
竖直方向：y=
| qE |
| 2m |
由 x=2l y=l，①②联立得：E=
| 2mv02 |
| ql |
（2）由题意得 T0=t ③
①③联立得：T0=
| l |
| v0 |
粒子b进入磁场时与x轴夹角为θ，PQ与x轴的夹角为α，则tanθ=2tanα=
| 2×l |
| 2l |
即θ=450，运动轨迹为
| 1 |
| 4 |
由洛伦兹力提供向心力得：Bqv=m
| v2 |
| r |
T=
| 2πR |
| v |
| 2πm |
| Bq |
③④⑤联立得：B=
| 4lq |
| 2πmv0 |
（3）由（2）b粒子离开电场时速度方向与x轴夹角θ为450
由tan45°=
| vy |
| vx |
| gt |
| v0 |
a粒子在电场中运动时间：ta1=
| v0 |
| g |
| 1t |
| 2 |
| l |
| 2v0 |
a粒子离开电场运动到x轴的时间：ta2=
| 3l |
| 4v0 |
a粒子从P点运动到x轴的时间：ta=ta1+ta2=
| 5l |
| 4v0 |
| 5 |
| 4 |
故：a粒子比b粒子晚进入磁场的时间：△t=
| 1 |
| 4 |
b粒子离开磁场到达x轴时，a在磁场中运动了
| 3 |
| 4 |
a进入磁场的速度va=
| 2 |
由qvB=m
| v2 |
| r |
ra=
| mva |
| qB |
2
| ||
| π |
R的y坐标为：y=ra（cos45°-cos22.50）=-0.2l（1分）
答：（1）电场强度E的大小为E=
| 2mv02 |
| ql |
（2）调节磁感应强度B使粒子b首次在磁场中运动的时间跟在电场中运动的时间相等，TO为T0=
| l |
| v0 |
| 4lq |
| 2πmv0 |
（3）在保持上述磁感应强度不变的情况下，当a、b中的一个粒子第二次到达x轴时另一粒子的y坐标为-0.2l．
点评：本题是带电粒子在组合场中运动的问题，粒子垂直射入电场，在电场中偏转做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，要求同学们能画出粒子运动的轨迹，结合几何关系求解，知道半径公式及周期公式，难度适中．
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