Question

14．如图所示，一根长约为L=20$\sqrt{2}$cm的均匀细杆OB可以绕通过其一端的水平轴在竖直平面内转动，杆最初处于水平位置，杆上距O为a=20cm处放有一小物体（可视为质点），杆与其上小物体最初均处于静止状态．若此杆突然以匀角速度ω绕O顺时针匀速转动．若小物体一定能与杆相碰，则角速度ω的取值范围有（　　）

• A． ω＜$\frac{5}{4}$πrad/s
• B． ω＜$\frac{5}{2}$πrad/s
• C． ω＞$\frac{45}{4}$πrad/s
• D． ω≥$\frac{45}{8}$nπrad/s（n=1，2，3…）

Answer 1

分析 当杆转动之后，小物体将沿竖直方向自由下落．物体若与杆相碰撞，一种情况是物体追上杆相碰，一种情况是杆转一圈后追上物体相碰，结合结合关系，抓住时间相等求出转动的角速度．

解答 解：小物体做自由落体运动，杆OB与小物体再次相遇有两种情况，
一是小物体追上杆，二是杆转动一周后追上小物体，
当两者刚好再次相碰时，物体在杆的末端与杆相碰，
对小物体有：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
对细杆OB有：θ=ω₁t  或θ+2π=ω₂t           
由几何关系知：sinθ=$\frac{20}{20\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
θ=45°
h=a=0.2m
得ω₁=$\frac{5}{4}π$rad/s或ω₂=$\frac{45}{4}π$rad/s
故欲使小物体和杆再次相遇必有ω≤$\frac{5}{4}π$rad/s或ω≥$\frac{45}{4}π$rad/s，故AC正确．
故选：AC

点评 解决本题的关键知道：
（1）杆突然转动后，小木块做自由落体运动．如果在杆转动的时间t内，杆端A恰好转到小物体的正下方使小物体与杆端相碰，即杆转过θ角的时间与小物体自由下落高度h的时间相等．
（2）求杆转动的角速度的范围．要求杆转动的角速度的临界值，就是要求两者恰好相碰时杆所转动的角速度．