Question

1．如图所示，两根足够长的光滑固定平行金属导轨与水平面成θ角，导轨间距为d，两导体棒a和b与导轨垂直放置，两根导体棒的质量都为m，电阻都为R，回路中其余电阻不计．整个装置处于垂直于导轨平面向上的均强磁场中，磁感应强度的大小为B．在t=0时刻使a沿导轨向上做速度为v的匀速运动，同时将b由静止释放，b经过一段时间后也作匀速运动．已知d=1m，m=0.5kg，R=0.5Ω，B=0.5T，θ=30°，g取10m/s²，不计两导体棒间的相互作用力．
（1）为使导体棒b能沿导轨向下运动，a的速度v不能超过多大？
（2）若a在平行于导轨向上的力F作用下，以v₁=2m/s的速度沿导轨向上匀速运动，求导体棒b的速度v₂的最大值；
（3）在（2）中，当t=2s时，b的速度达到5.06m/s，2s内回路中产生的焦耳热为13.2J，求该2s内力F做的功（本小题结果保留三位有效数字）．

Answer 1

分析 （1）要使b棒能下滑，则安培力大于重力的下滑分量；
（2）根据切割公式求解出b的切割电动势，然后求解出安培力，在对a棒受力分析，根据平衡条件列方程求拉力F的表达式；再对b棒受力分析，根据平衡条件求解最大速度；
（3）先对棒b运用动量定理列式并结合微元法列式，然后求和解出位移；最后再对两个棒系统运用功能关系列式求解．

解答 解：（1）设a的速度为v1，由于b初态速度为零，则  $I=\frac{E_1}{2R}=\frac{{Bd{v_1}}}{2R}$     ①
对b：${F_A}=BId=\frac{{{B^2}{d^2}{v_1}}}{2R}$     ②
F_A＜mgsinθ  ③
将①②式代入③式得：v₁＜10m/s  ④
（2）设a的速度为v₁，b的速度为v₂，回路电流为I，
则：$I=\frac{{{E_1}+{E_2}}}{2R}=\frac{{Bd（{v_1}+{v_2}）}}{2R}$     ⑤
对a：mgsinθ+F_A=F   $mgsinθ+\frac{{{B^2}{d^2}（{v_1}+{v_2}）}}{2R}=F$      ⑥
代入数据得：$F=3+\frac{v_2}{4}（N）$
设b的最大速度为v_m，则有：$\frac{{{B^2}{d^2}（{v_1}+{v_m}）}}{2R}=mgsinθ$
代入数据得：v_m=8m/s 
（3）对b：mgsinθ-F_A=ma   $mgsinθ-\frac{{{B^2}{d^2}（{v_1}+{v_2}）}}{2R}=ma$
取任意无限小△t时间：$mg△tsinθ-\frac{{{B^2}{d^2}（{v_1}+{v_2}）}}{2R}△t=ma△t$
代入数据并求和得：$8\sum{△t}-\sum{△{x_2}}=2\sum{△{v_2}}$
8t-x₂=2v₂  
将t=2s，v₂=5.06m/s代入上式得：x₂=5.88m   
a的位移：x₁=v₁t=2×2=4m
由功能关系知：${W_F}=\frac{1}{2}mv_2^2+mg{x_1}sinθ-mg{x_2}sinθ+Q$
代入数据得：W_F=14.9J   
答：（1）a的速度v不能超过10m/s；（2）导体棒b的速度v₂的最大值为8m/s；（3）2s内力F做的功为14.9J．

点评 本题关键多次受力分析并根据牛顿第二定律列方程；第3问要运用微元法求解变加速运动的位移，然后运用功能关系列式求解，较难．