Question

9．如图所示，质量为m=1kg的滑块，在水平力作用下静止在倾角为θ=30°的光滑斜面上，斜面的末端B与水平传送带相接（滑块经过此位置滑上传送带时无能量损失），传送带的运行速度为v₀=3m/s，长为L=1.4m；今将水平力撤去，当滑块滑到传送带右端C时，恰好与传送带速度相同．滑块与传送带间的动摩擦因数为μ=0.25，取g=10m/s²，求：
（1）水平作用力F的大小；
（2）滑块下滑的高度；
（3）滑块在传送带上滑行的整个过程中产生的热量．

Answer 1

分析 （1）对滑块受力分析，由共点力的平衡条件可得出水平作用力F的大小；
（2）由于滑块滑到B点的速度未知，故应分别对符合条件的两种情况进行讨论，由动能定理可求得滑块下落的高度；
（3）热量与滑块和传送带间的相对位移成正比，即Q=fs，由运动学公式求得传送带通过的位移，即可求得相对位移，从而求得摩擦生热．

解答 解：（1）滑块受到水平推力F、重力mg和支持力N处于平衡，如图所示，由平衡条件可得：
水平推力 F=mgtanθ=1×10×tan30°=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$N
（2）设滑块从高为h处上滑，到达斜面底端速度为v，
下滑过程机械能守恒，则得：
   mgh=$\frac{1}{2}$mv²
解得：v=$\sqrt{2gh}$；
若滑块冲上传送带的速度小于传送带速度，则滑块在带上由于受到向右的滑动摩擦力而做匀加速运动，根据动能定理有：
   μmgL=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv²
联立解得：h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$-μL=$\frac{{3}^{2}}{20}$-0.25×1.4=0.1m；
若滑块冲上传送带时的速度大于传送带的速度，则滑块由于受到向左的滑动摩擦力而做匀减速运动，根据动能定理：
-μmgL=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv²
解得：h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$+μL=$\frac{{3}^{2}}{20}$+0.25×1.4=0.8m
故滑块下滑的高度应为0.1m或0.8m；
（3）若滑块进入传送带速度小于v₀=3m/s，由上题可得：v=$\sqrt{2}$m/s
设滑块在传送带上运动的时间为t，则t时间内传送带的位移：
   s=v₀t
对滑块由运动学公式知：
v₀=v+at
滑块的加速度 a=$\frac{μmg}{m}$=μg
联立解得：s=v₀$\frac{{v}_{0}-v}{a}$
滑块相对传送带滑动的位移△s=s-L
相对滑动生成的热量 Q=μmg△s
代入数据解得 Q≈1.26J．
若滑块进入传送带速度大于3m/s，由上题可得：v=4m/s
设滑块在传送带上运动的时间为t，则t时间内传送带的位移：
   s=v₀t
对滑块由运动学公式知：
v₀=v-at
联立解得：s=v₀$\frac{v-{v}_{0}}{a}$
滑块相对传送带滑动的位移△s=L-s
相对滑动生成的热量 Q=μmg△s
代入数据解得 Q=0.5J．
答：
（1）水平作用力F为$\frac{10\sqrt{3}}{3}$N；
（2）滑块下滑的高度可能为0.1m或0.8m；
（3）相对滑块生成的热量为1.26J或0.5J．

点评 本题在研究传送带问题时，要注意传送带与滑块速度间的关系，从而确定出滑块的运动情况；知道摩擦生热由摩擦力乘以相对位移求出．要注意不能漏解．