题目内容
【题目】根据玻尔理论，氢原子在不同的能量状态，对应着电子在不同的轨道上绕核做匀速圆周运动，电子做圆周运动的轨道半径满足
，其中n为量子数，即轨道序号，rn为电子处于第n轨道时的轨道半径，已知电子的电荷量为e，质量为m，电子在第1轨道运动的半径为r1，静电力常量为k。电子在第n轨道运动时氢原子的能量En为电子动能与“电子-原子核”这个系统的电势能的总和。理论证明，系统的电势能Ep和电子绕氢原子核做圆周运动的半径r存在关系：
（以无穷远为电势能零点）。请根据以上条件完成下面的问题。
①试证明电子在第n轨道运动时氢原子的能量En和电子在第1轨道运动时氢原子的能量E1满足关系式
；
②假设氢原子甲核外做圆周运动的电子从第2轨道跃迁到第1轨道的过程中所释放的能量，恰好被量子数n=4的氢原子乙吸收并使其电离，即其核外在第4轨道做圆周运动的电子脱离氢原子核的作用范围。不考虑电离前后原子核动能的改变，试求氢原子乙电离后电子的动能。
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】
试题（1）设电子绕氢原子核在第1轨道上做圆周运动的周期为
，形成的等效电流大小为
，根据牛顿第二定律有
（2分）
则有
（1分）
又因为
（2分）
有
（1分）
（2）①设电子在第1轨道上运动的速度大小为v1，根据牛顿第二定律有
（1分）
电子在第1轨道运动的动能
（1分）
电子在第1轨道运动时氢原子的能量即动能和势能之和
（2分）
同理，电子在第n轨道运动时氢原子的能量
（2分）
又因为
则有
命题得证。 （1分）
② 由①可知，电子在第1轨道运动时氢原子的能量
电子在第2轨道运动时氢原子的能量
（1分）
电子从第2轨道跃迁到第1轨道所释放的能量
（2分）
电子在第4轨道运动时氢原子的能量
（1分）
设氢原子电离后电子具有的动能为
，根据能量守恒有
（2分）
解得
（1分）
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